221
правка
Изменения
м
{{Требует доработки
|item1=(исправлено)Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп.
|item2=(исправлено)Надо убрать алгоритм построения.
|item3=(исправлено)Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>, в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать.
}}
'''=== Структура'''===Пусть <mathtex>\mathbb{A}_n</math> = <math>\{a_1,a_2,\dots,a_n\}</mathtex> — группа из <tex>n </tex> элементов.
1) * <tex>|G| = 1</tex>
2) * <tex>|G| = 2</tex>
| <tex>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</tex>
|-
3) * <tex>|G| = 3</tex>
4) * <tex>|G| = 4</tex>
5) * <tex>|G| = 5</tex>
6) * <tex>|G| = 6</tex>
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Таблица умножения (таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.
Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:
|statement=В простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы.
|proof=
Рассмотрим элемент <tex>x\in G</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n—1n-1}\rbrace</tex> (все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — в противном случае при <tex>x^k=x^m (m<k<n)\Rightarrow x^{k—m}=e</tex>, т.е. <tex>n>k—m</tex> не является порядком элемента <tex>x</tex>). Очевидно, <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>, изоморфная <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Но По [[Теорема Лагранжа|теореме Лагранжа]] порядок любой подгруппы делит порядок группы. Значит, и <tex>n</tex> делит порядок <tex>G</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=Все группы простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>.
|proof=
Рассмотрим элемент <tex>x\in G,\,x\neq e</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n—1n-1}\rbrace</tex> (все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — см. выше). Очевидно, <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>, изоморфная <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Но тогда <tex>n</tex> делит <tex>p</tex>(как порядок подгруппы) и не равняется единице(<tex>x^1\neq e</tex>), значит <tex>n=p</tex>. Раз порядок конечной подгруппы <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subseteq G</tex> совпадает с порядком группы, то группа и подгруппа просто совпадают: <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\eqsim G</tex>.
}}
Ниже перечислены все группы до шестого порядка включительно:
Тривиальная группа
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
|}
Группа вычетов по модулю два относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
|}
Группа вычетов по модулю три относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
|}
Группа вычетов по модулю четыре относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
|}
Группа вычетов по модулю пять относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
|}
Группа вычетов по модулю шесть относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
