Алгоритм Борувки — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство корректности)
(Доказательство корректности)
Строка 16: Строка 16:
 
|id=lemma1
 
|id=lemma1
 
|statement=Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф <tex> G = (V, E)  </tex> с весовой функцией <tex>w : E \to \mathbb{R}</tex>.
 
|statement=Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф <tex> G = (V, E)  </tex> с весовой функцией <tex>w : E \to \mathbb{R}</tex>.
Тогда после выполнения первой итерации алгоритма Борувки
+
Пусть <tex>T<\tex> = <tex>{uv \in E : min[u] = uv || min[v] = uv}</tex>
|about= Утверждаем что после первой итерации алгоритма Борувки, получившееся множество ребер можно достроить до MST.
+
 
 
|proof=доказательство (необязательно)
 
|proof=доказательство (необязательно)
 
}}
 
}}

Версия 17:56, 15 декабря 2012

Алгоритм Борувки — алгоритм поиска минимального остовного дерева (minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе. Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой.

Описание алгоритма

Пусть [math]T[/math] подграф графа [math]G[/math]. Изначально [math]T[/math] содердит все вершины из [math]G[/math] и не содержит ребер.

Будем добавлять в [math]T[/math] ребра следующим образом:

Пока [math]T[/math] не является деревом

  1. Для каждой компоненты связанности находим минимальное по весу ребро, которое связывает вершину из данной компоненты с вершиной, не принадлежащей данной компоненте.
  2. Добавим в [math]T[/math] все ребра, которые хотя бы для одной компоненты оказались минимальными.

Получившийся граф [math]T[/math] является минимальным остовным деревом графа [math]G[/math].

Доказательство корректности

Лемма:
Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф [math] G = (V, E) [/math] с весовой функцией [math]w : E \to \mathbb{R}[/math]. Пусть [math]T\lt \tex\gt = \lt tex\gt {uv \in E : min[u] = uv || min[v] = uv}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
доказательство (необязательно)
[math]\triangleleft[/math]

Реализация

  Graph Boruvka(Graph G)
      while T.size < n
           init()                                            // у вершины есть поле comp(компонента которой принадлежит вершина) 
           findComp(T)                                       // разбиваеv граф T на компоненты связынности обычным dfs-ом
           for uv [math]\in[/math] E
               if u.comp != v.comp
                   if minEdge[u.comp].w < uv.w
                       minEdge[u.comp] = uv
                   if minEdge[v.comp].w < uv.w
                       minEdge[v.comp] = uv)
           for k [math]\in[/math] Comp                                       // Comp — множество компонент связанности в T
                   T.addEdge(minEdge[k])
      return T;     

Асимптотика

Время работы внутри главного цикла будет равно [math]O(E + V)[/math].

Количество итераций которое выполняется главным циклом равно [math]O(\log{V})[/math] так как на каждой итерации количество компонент связанности уменьшается в 2 раза (изначально количество компонент равно [math]|V|[/math], в итоге должна стать одна компонента).

Общее время работы алгоритма получается [math]O(E\log{V})[/math]

Литература

  • Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)

См. также