*количество не изоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и $n + 1$ листьями;
*количество способов соединения $2n$ точек на окружности $n$ не пересекающимися хордами;
*количество разбиений выпуклого $(n + 2)$-угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями;*количество способов полностью разделить скобками $n + 1$ множитель;*количество корректных скобочных последовательностей, состоящих из $n$ открывающих и $n$ закрывающих скобок;}}Для чисел Каталана выполняется выражение'''Рекурентная формула:'''
$C_n =\fracsum_{(2n)!i = 0}^{n!(- 1} C_i C_{n + - 1)!- i}$,
а также они удовлетворяют рекуррентному соотношению:Рекуррентную формулу легко вывести из задачи о правильных скобочных последовательностях.
Самой левой открывающей скобке $C_0 l$ соответствует определённая закрывающая скобка $r$, которая разбивает формулу две части, каждая из которых в свою очередь является правильной скобочной последовательностью. Поэтому, если мы обозначим $i = r - l - 1$ , то для любого фиксированного $r$ будет ровно $C_i C_{{-n-1-i}} так как существует только одна скобочная последовательность с $0способов. Суммируя это по всем допустимым i, мы и получаем рекуррентную зависимость на $C_n$ открывающихся скобок {{---}} пустая.
$C_n = \sum_{i = 1}^{n - 1} C_i C_{n - 1 - i}$.'''Аналитическая формула:'''
Чтобы получить это соотношение$ C_n = \frac{1}{n+1} C_{2n}^{n} $ (здесь через $C_n^k$ обозначен, надо перебрать все возможные последовательности как обычно, биномиальный коэффициент). Эту формулу проще всего вывести из задачи о монотонных путях. Общее количество монотонных путей в решётке размером $n \times n$ равно $S1C_{2n}^{n}$ . Теперь посчитаем количество монотонных путей, пересекающих диагональ. Рассмотрим какой-либо из таких путей, и найдём первое ребро, которое стоит выше диагонали. Отразим относительно диагонали весь путь, идущий после этого ребра. В результате получим монотонный путь в решётке $(n - 1) \times (n + 1)$S2. Но, с другой стороны, любой монотонный путь в решётке $(n - 1) \times (n + 1)$ обязательно пересекает диагональ, следовательно, являющиеся правильными скобочными последовательностямион получен как раз таким способом из какого-либо (причём единственного) монотонного пути, такиепересекающего диагональ, что в решётке $n \times n$. Монотонных путей в решётке $(S1n - 1) \times (n + 1)S2$ образуют новые правильные скобочные последовательности необходимой нам длиныимеется $C_{2n}^{n-1}$.В результате получаем формулу: $ C_n = C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n-1} = \frac{1}{n+1} C_{2n}^{n}$
== Алгоритмы генерации ==
