668
правок
Изменения
→Пример
Для любого <tex>n</tex> и любых неотрицательных целых чисел
<tex> n_{1}, . . . , n_{m}</tex>, сумма которых равна <tex>n</tex>, верна формула:
<tex> P(n_{1}, . . . , n_{m}) =( \frac{n!}{n_{1}! \times cdot n_{2}! .. \times cdot n_{m}!})\times cdot (p_{1})^(n_{1})\timescdot... \timescdot(p_{m})^(n_{m})
</tex>
|proof=
Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее.
Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}}...p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, . . . , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек,и так далее Это число равно
<tex>\binom{n}{n_{1}}\times cdot \binom{n - n_{1}}{n_{2}} \times cdot \binom{n - n_{1} - n_{2}}{n_{3}}...\times cdot \binom{n - n_{1}...-n_{m - 1}}{n_{m}} = \frac {n!}{n_{1}! \times cdot n_{2}! .. \times cdot n_{m}!}
</tex>
}}
Теперь мы можем вернуться к последнему примеру и выписать ответ: так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по <tex>\genfrac{}{}{}{0}{1}{6}</tex>, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) <tex>\genfrac{}{}{}{0}{4}{6}</tex>, то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна
<tex> P(10, 3, 2) = \frac {15!}{10! \times cdot 3! \times cdot 2!} \times cdot ((\genfrac{}{}{}{0}{1}{6})^(10)) \times cdot ((\genfrac{}{}{}{0}{1}{6})^3)\times cdot((\genfrac{}{}{}{0}{4}{6})^2)
</tex>
