Задача об оптимальном префиксном коде с сохранением порядка. Монотонность точки разреза

Определение

Определение:

Оптимальный префиксный код с сохранением порядка(англ. order-preserving code, alphabetic code). Пусть у нас есть алфавит [math] \Sigma [/math]. Каждому символу [math]c_i [/math] сопоставим его код [math] p_i [/math]. Кодирование называется оптимальным префиксным с сохранением порядка(алфавитным), если соблюдаются: Условие порядка - [math] \forall i, j : c_i \lt c_j \iff p_i \lt p_j [/math]. То есть, если символ [math]c_i [/math] лексикографически меньше символа [math] c_j [/math], его код также будет лексикографически меньше, и наоборот. Условие оптимальности - [math] \sum\limits_{i = 1}^{|\Sigma|} f_i \cdot |p_i| [/math] - минимально, где [math] f_i [/math] - частота встречаемости символа [math] c_i [/math] в тексте, а [math] |p_i| [/math] - длина его кода.

Алгоритм

Решим задачу, используя ДП на подотрезках. Пусть в ячейке [math] D[i][j] [/math] хранится минимальная стоимость кодового дерева для отрезка алфавита от i до j.

Тогда пересчет [math] D[i][j] [/math] будет происходить так:

[math] D[i][j] = \min\limits_{k = i}^{j - 1} \left ( D[i][k] + D[k + 1][j] \right ) + w[i][j][/math]

Базой динамики будет [math] D[i][i] = 0 [/math]

Добавочный член [math]w[i][j] = \sum\limits_{t = i}^{j} f_t [/math] возникает от того что каждым объединением двух подотрезков мы увеличиваем высоту дерева на 1, а значит, и длины всех кодов символов [math] c_i .. c_j [/math] также увеличиваются на 1.

Тогда такое наибольшее k, на котором достигается этот минимум, называется точкой разреза для отрезка [math] i..j [/math]. Пусть в ячейке [math] R[i][j] [/math] хранится точка разреза на отрезке [math] i..j [/math].

Если разрез происходит по какому-то определенному индексу [math] q [/math] , такой разрез обозначим [math] D_q[i][j] [/math].

Таким образом, получили алгоритм, работающий за [math] O(n^3) [/math]. Коды каждого символа можно легко получить так же, как в алгоритме Хаффмена - обходом по построенному дереву.

Если доказать монотонность точки разреза, то можно уменьшить асимптотику алгоритма до [math] O(n^2) [/math].

Монотонность точки разреза

Для доказательства этого сперва докажем несколько лемм.

Определение:

Функция a удовлетворяет неравенству четырехугольника(quadrangle inequation), если [math]\forall i \le i' \le j \le j' : a[i][j] + a[i'][j'] \le a[i'][j] + a[i][j'][/math]

Лемма:

w удовлетворяет неравенству четырехугольника.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Заметим, что [math] w[i][j] = w[i][t] + w[t+1][j] [/math], так как [math] w[i][j] [/math] - простая арифметическая сумма. Тогда: [math] w[i][j] + w[i'][j'] \le w[i'][j] + w[i][j'][/math] [math] (w[i][i' - 1] + w[i'][j]) + (w[i'][j] + w[j + 1][j']) \le (w[i'][j]) + (w[i][i' - 1] + w[i'][j] + w[j + 1][j']) [/math] Получили [math] 0 \leq 0 [/math], что является верным. Лемма доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Если w удовлетворяет неравенству четырехугольника, то D также удовлетворяет неравенству четырехугольника, то есть: [math]\forall i \le i' \le j \le j' : D[i][j] + D[i'][j'] \le D[i'][j] + D[i][j'] [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

При [math] i = i' [/math] или [math] j = j' [/math], очевидно, неравенство выполняется. Рассмотрим два случая: [math] i' = j [/math] [math] i \lt i' = j \lt j' [/math]. Тогда неравенство четырехугольника сводится к: [math] D[i][j] + D[j][j'] \le D[i][j'] [/math] Пусть [math] k = R[i][j'] [/math]. Получили два симметричных случая: [math] k \le j [/math] [math] D[i][j] + D[j][j'] \le w[i][j] + D[i][k-1] + D[k][j] + D[j][j'] [/math] - по определению [math] D[i][j] [/math] [math] \le w[i][j'] + D[i][k-1] + D[k][j] + D[j][j'] [/math] - так как [math] w[i][j'] \gt = w[i][j] [/math] [math] \le w[i][j'] + D[i][k-1] + D[k][j'] [/math] - по индукционному предположению для D [math] \le D[i][j'] [/math] - по определению [math] D[i][j'] [/math] [math] k \ge j [/math] - аналогичный предыдущему случай. [math] i' \lt j [/math] [math] i \lt i' \lt j \lt j' [/math] Пусть [math] y = R[i'][j] [/math] и [math] z = R[i][j'] [/math]. Получили два симметричных случая: [math] z \le y [/math] Получили [math] i \le z \le y \le j [/math]. Запишем: [math] D[i'][j'] + D[i][j] \le D_y[i'][j'] + D_z[i][j] = w[i'][j'] + D[i'][y-1] + D[y][j'] + w[i][j] + D[i][z-1] + D[z][j] [/math] [math] \le w[i][j'] + w[i'][j] + D[i'][y-1] + D[i][z-1] + D[z][j] + D[y][j'] [/math] - по неравенству четырехугольника для [math] w [/math] [math] \le w[i][j'] + w[i'][j] + D[i'][y-1] + D[i][z-1] + D[y][j] + D[z][j'] [/math] - по индукционному предположению для D [math] \le D[i][j'] + D[i'][j] [/math] - по определению D [math] z \ge y [/math] доказывается аналогично. Лемма доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Монотонность точки разреза):

Если w удовлетворяет неравенству четырехугольника, то: [math] \forall i \le j : R[i][j] \le R[i][j+1] \le R[i+1][j+1] [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

В случае [math] i = j [/math] неравенство, очевидно, выполняется. Рассматриваем случай [math] i \lt j [/math] и только случай [math] R[i][j] \le R[i][j+1] [/math](вторая часть доказывается аналогично): Так как [math] R[i][j] [/math] - максимальный индекс, в котором достигается минимум, достаточно показать, что: [math] \forall i \lt k \le k' \le j: [D_{k'}[i][j] \le D_k[i][j]] \Rightarrow [D_{k'}[i][j+1] \le D_k[i][j+1]] [/math] - фактически, это означает что если на отрезке [math] i..j [/math] разрез оптимальнее по [math] k' [/math], чем по [math] k [/math], то он также будет оптимальнее и на отрезке [math] i..j+1 [/math]. Докажем более сильное неравенство: [math] \forall i \lt k \le k' \le j: D_k[i][j] - D_{k'}[i][j] \le D_k[i][j+1] - D_{k'}[i][j+1] [/math] [math] D_k[i][j] + D_{k'}[i][j+1] \le D_k[i][j+1] + D_{k'}[i][j] [/math] [math] (w[i][j] + D[i][k-1] + D[h][j]) + (w[i][j+1] + D[i][k'-1] + D[k][j+1]) \le (w[i][j+1] + D[i][k-1] + D[k][j+1]) + (w[i][j] + D[i][k'-1] + D[k'][j]) [/math] - по определению D [math] D[k][j] + D[k'][j+1] \le D[k][j+1] + D[k'][j] [/math] - получили неравенство четырехугольника для [math] k \le k' \le j \le j+1 [/math], что является верным из предыдущей леммы. Теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Объяснение квадратичной асимптотики

Рассмотрим матрицу R. Так как отрезки [math] i..j [/math], где [math] i \gt j [/math] мы не рассматриваем, она будет верхнетреугольной. Вначале она будет заполнена так, что [math] R[i][i] = i [/math](так как для отрезка, состоящего из одного элемента, он же и является точкой разреза). Далее, для любого элемента [math] R[i][j] [/math] его значения лежат между [math] R[i][j-1] [/math] (левый элемент в матрице) и [math] R[i+1][j] [/math] (нижний элемент в матрице). Так как мы используем динамику по подотрезкам, то сначала мы рассчитаем R для отрезков длины 2, затем 3, и так далее до n. Фактически, мы будем обходить диагонали матрицы, количество которых равно n.

Рассмотрим элемент [math] R[i][j] [/math]. Для него выполняется [math] R[i][j-1] \le R[i][j] \le R[i+1][j] [/math]. Следующий элемент, который мы будем пересчитывать - [math] R[i+1][j+1] [/math]. Для него выполняется [math] R[i+1][j] \le R[i+1][j+1] \le R[i+2][j+1] [/math]. Таким образом, заполняя одну диагональ, алгоритм сделает не более n шагов, а так как диагоналей n, получили асимптотику [math] O(n^2) [/math].

Использованные материалы

S.V. Nagaraj - Tutorial: Optimal binary search trees

Д. Э. Кнут - Искусство программирования: Сортировка и поиск, Том 3