Изменения

<tex>\Leftarrow</tex> В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять в изначально пустое паросочетание <tex>P</tex> по одному ребру, и доказывать, что мы можем это сделать, если <tex>P</tex> не полное). Таким образом, в конце получим что <tex>P</tex> — полное паросочетание.

#База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R</tex>. Следовательно база верна.

#Переход: Пусть после <tex>k<n</tex> шагов построено парасочетание <tex>P</tex>. Докажем, что в <tex>P</tex> можно добавить вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, не насыщенную паросочетанием <tex>P</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L</tex> в <tex>R</tex> по любым ребрам из <tex>G</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R</tex>, не насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex>(вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex>(т.к из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание <tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.