338
правок
Изменения
→Допустимые ребра
|about = Допустимая сеть является ациклической
|statement =
|proof =
Пусть в <tex>G_{f, h}</tex> существует [[Основные определения теории графов|циклический путь]] <tex>p = \left \langle v_0, v_1, \dots, v_k \right \rangle</tex>, где <tex>k > 0</tex>.
|about = Об изменении допустимой цепи, с помощью операции проталкивания.
|statement =
|proof =
Так как ребро <tex>(u, v)</tex> допустимое то, по определению допустимого ребра, из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> можно протолкнуть поток. Из-за того что <tex>u</tex> {{---}} переполнена, вызываем операцию <tex>push(u, v)</tex>. В результате выполнения операции может быть создано остаточное ребро <tex>(u, v)</tex>. Так ребро <tex>(u, v)</tex> допустимое то, <tex>h[v] = h[u] - 1</tex>, а это значит, что ребро <tex>(v, u)</tex> не может стать допустимым.
Если выполненная операция <tex>push(u, v)</tex> является насыщающим проталкиванием, то после ее выполнения <tex>c_{f}(u, v) = 0</tex> и ребро <tex>(u, v)</tex> становится недопустимым.
}}
{{Лемма
|id = Лемма3
|about = Об изменении допустимой цепи, с помощью операции подъема.
|statement =
Если вершина <tex>u</tex> переполнена и не имеется допустимых ребер, выходящих из <tex>u</tex>, то применяется операция <tex>relabel(u)</tex>. После подъема появляется по крайней мере одно допустимое ребро, выходящее из <tex>u</tex>, но нет допустимых ребер, входящих в <tex>u</tex>.
|proof =
Рассмотрим вершину <tex>u</tex>. Если <tex>u</tex> переполнена, то, согласно [[Метод проталкивания предпотока#Лемма2|лемме (2)]], к ней может быть применима либо операция проталкивания, либо операция подъема. А так как не существует допустимых ребер для <tex>u</tex>, то протолкнуть потом не возможно, значит, применяется операция <tex>relable(u)</tex>. После данного подъема <tex>h[u] = 1 + min \{ h[v]: (u, v) \in E_{f} \}</tex>. Значит, если <tex>u</tex> {{---}} вершина указанного множества, в которой реализуется минимум, то <tex>(u, v)</tex> становится допустимым. А это значит, что после подъема существует хотя бы одно допустимое ребро, выходящее из <tex>u</tex>.
Пусть существует такая вершина <tex>u</tex>, после подъема, что ребро <tex>(u, v)</tex> допустимо. Тогда <tex>h[v] = h[u] + 1</tex>, значит, перед подъемом <tex>h[v] > h[u] + 1</tex>. Но между вершинами, высоты которых отличаются более чем на 1, не существует остаточных сетей. Кроме того, подъем вершины не меняет остаточную сеть. Значит, ребро <tex>(v, u)</tex> не может находится в допустимой сети, так как оно не принадлежит остаточной сети.
}}
