Теорема Брукса

Вспомогательная Лемма

Лемма:

Пусть [math]G(V,E)[/math] - произвольный связный неориентированный граф и [math]\Delta(G)[/math] - максимальная степень вершин [math]G[/math]. Если в таком графе существует вершина [math]v[/math] степени [math] deg\ v \lt \Delta(G)[/math], то [math]\chi(G) \le \Delta(G)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Запустим алгоритм обхода в ширину из вершины [math]w[/math]. Пронумеруем вершины [math]v_1,...,v_n,[/math] где [math]v_i[/math] вершина рассмотренная на [math]i[/math]ом шаге алгоритма bfs. Далее начнем красить вершины в обратном порядке в один из [math]\Delta[/math] цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета. Заметим, что так всегда можно сделать, поскольку на [math] i[/math]ом шаге покраски, для вершины [math] v_{n - i+1}[/math] есть не более [math]\Delta(G) - 1[/math] уже покрашенных соседей, следовательно вершину [math] v_{n-i+1}[/math] можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов. Таким образом граф можно покрасить в [math] \Delta[/math] цветов, следовательно [math] \chi(G) \le \Delta(G)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема

Теорема (Брукса):

Пусть [math]G(V,E)[/math] — связный неориентированный граф и [math]G[/math] не является [math]K_m[/math] или [math]C_{2m+1}[/math], ни для кого [math] m[/math], то [math]\chi(G) \le \Delta(G)[/math], где [math]\Delta(G)[/math] - максимальная степень вершин [math]G[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если [math] \Delta = 0[/math], [math] G = K_1[/math] Если [math] \Delta = 1[/math], [math] G = K_2[/math] Если [math] \Delta = 2[/math], то: [math] G [/math]— либо дерево либо четный цикл и тогда [math] \chi(G) = 2[/math] [math] G[/math] нечетный цикл Поэтому мы будем считать до конца доказательства, что [math] \Delta(G) \ge 3[/math]. Если в [math]G[/math] существует вершина [math]v[/math] степени [math] deg\ v \lt \Delta(G)[/math], то по выше доказанной лемме [math] \chi(G) \le \Delta(G)[/math]. То есть осталось рассмотреть случай, когда [math]G[/math] — планарный граф. Если [math]G[/math] не является двусвязным графом, тогда в графе [math] G[/math] [math] \exists[/math] [math] v \in V[/math], где v — точка сочленения. Пусть [math]G_1,G_2[/math] две компоненты связности полученный при удалении вершины [math]v[/math].Тогда, по выше доказанной лемме [math]G_1,G_2[/math] можно правильно покрасить в [math]\Delta[/math] цветов.Поскольку количество соседей вершины [math] v [/math] в каждой из компонент не более [math] \Delta - 1[/math], то [math]G[/math] можно правильно раскрасить в [math]\Delta[/math] цветов. Если в графе [math] G[/math] [math] \exists[/math] [math] v,u \in V :(u,v) \notin E[/math] и при удалении вершин [math]v,u[/math] граф теряет связность .Пусть [math]G_1,G_2[/math] два подграфа [math] G:G_1 \cap G_2 = \{v,u\} \land G_1 \cup G_2 = G[/math]. Рассмотрим два случая: Если в одном из подграфов [math] G_1,G_2[/math] [math] deg\ u \lt \Delta - 2 [/math] или [math] deg\ v \lt \Delta - 2 [/math] то, подграфы [math]G_1,G_2[/math] можно правильно раскрасить в [math]\Delta[/math] цветов так, чтобы вершины [math] u,v [/math] были бы разных цветов.А из этого следует что, граф [math]G[/math] тоже можно правильно раскрасить в [math]\Delta[/math] цветов. Если степени обоих вершин в одном из подграфов равны [math] \Delta - 1[/math] например в подграфе [math]G_1[/math]: [math] G_1,G_2 [/math] можно правильно раскрасить в [math]\Delta[/math] цветов так, чтобы вершины [math] u,v [/math] были бы разных цветов.Тогда очевидно, что оценка теоремы выполнена. [math]\exists p \in G_2: pu \in E \land pv \in E [/math], тогда мы можем правильно раскрасить [math]G_2[/math], где [math]deg\ u = deg\ v = 1[/math], в не более чем [math] \Delta [/math] цветов так, чтобы вершины [math]u,v[/math] были одного цвета.Следовательно,можно покрасить граф [math]G[/math] в не более чем [math]\Delta[/math] цветов. [math]\exists u_1,v_1 \in G_2: uu_1 \in E \land vv_1 \in E \land u_1 \neq v_1 [/math], тогда вместо вершин [math]\{u,v\}[/math] рассмотрим вершины [math]\{u,v_1\}[/math].Заметим, что при удалении этих вершин граф потеряет связность и между ними нет ребра,то есть для этой пары вершин можно провести рассуждения аналогичные тем которые проводились для вершин [math] v,u[/math], прямым образом вытекает, что граф [math] G[/math] можно правильно покрасить в не более чем [math]\Delta [/math] цветов. Если вышеописанные случаи не подходят, тогда рассмотрим [math]w \in V : deg\ w = \Delta[/math]. У вершины [math]w[/math] должны существовать две соседние вершины [math]u,v : uv \notin E [/math], в противном случаи [math]G = K_n[/math].Пусть [math]G_- = G - u - v [/math]. Заметим, что [math]G_-[/math] связный граф, запустим для [math]G_-[/math] алгоритм обхода в ширину из вершины [math]w[/math]. Пронумеруем вершины [math]v_1,...,v_{n-2},[/math] где [math]v_i[/math] вершина рассмотренная на [math]i[/math]ом шаге алгоритма bfs.Теперь пусть [math] v_{n-1} = v[/math],и [math]v_n = u[/math]. Покрасим [math]v_n,v_{n-1}[/math] в один цвет, далее начнем красить вершины в обратном порядке начиная с [math]v_{n-2}[/math] в обратном порядке в один из [math]\Delta[/math] цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета.Заметим, что так всегда можно сделать, поскольку на [math] i[/math]ом шаге покраски,для [math]i \neq n[/math], для вершины [math] v_{n - i+1}[/math] есть не более [math]\Delta(G) - 1[/math] уже покрашенных соседей, следовательно вершину [math] v_{n-i+1}[/math] можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов.Вершину [math]w[/math],мы тоже сможем правильно покрасить в один из [math]\Delta[/math] цветов потому, что ее [math]\Delta[/math] соседей покрашено в не более чем [math]\Delta - 1[/math] цветов. Таким образом граф [math] G[/math] можно правильно покрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов.

[math]\triangleleft[/math]