Нормированные пространства (3 курс) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «<wikitex> {{Определение |id=defvs |definition= '''Линейное (векторное) пространство над полем $K$''' — это ...»)
(нет различий)

Версия 01:50, 31 декабря 2012

<wikitex>


Определение:
Линейное (векторное) пространство над полем $K$ — это множество $L$ с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
  • По операции сложения $L$ является абелевой группой — выполняются:
    • ассоциативность — $\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$
    • существование нейтрального элемента — $\exists \mathrm{0} \in L \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$, причем можно показать, что он единственный
    • существование обратного элемента — $\forall x \in L \exists y: x + y = \mathrm{0}$, такой $y$ называют обратным к $x$, причем можно показать, что он единственный
    • коммутативность — $\forall x, y \in L: x + y = y + x$
  • Для операции умножения на скаляр:
    • ассоциативность умножения на скаляр — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$
    • унитарность: $\forall x \in L: 1 \cdot x = x$, где $1$ — единица по умножению в поле $K$
    • дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $\forall \alpha \in K \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$
    • дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$


</wikitex>