Линейные функционалы

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество. Отображение [math] f\colon X \to \mathbb{R} [/math] — линейный функционал, если [math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)[/math]. Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math]. [math] \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} [/math] — ядро функционала.

Заметим: [math] \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0[/math]. По линейности [math]f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)[/math], следовательно, [math]f(0) = 0[/math].

[math] \mathrm{Ker}\, f [/math] — линейное подмножество [math]X[/math] Шаблон:TODO: возможно, нужно доказательство

Выясним геометрическую структуру ядра.

Напомним свойства отношения эквивалентности:

1. Рефлексивность: [math]x \sim x[/math]

2. Симметричность: [math]x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1[/math]

3. Транзитивность: [math]x_2 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3[/math]

Определение:

[math]X[/math] ­— линейное множество, [math]Y[/math] линейное подмножество [math]X[/math]. Введем отношение эквивалентности на [math]X[/math]: [math] x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y [/math] [math] [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} [/math] — классы смежности по [math]Y[/math]. [math] X /_Y [/math] — совокупность всех классов смежности — фактор множество по [math]Y[/math].

Операции над классами смежности:

[math] [x] + [y] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [x+y] [/math]

[math] \alpha [x] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [\alpha x] [/math]

Эти операции не зависят от представителя класса.

Фактор множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:

Определение:

[math]\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y [/math] — коразмерность [math]Y[/math]. [math]Y[/math] — гиперплоскость в [math]X[/math], если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1[/math].