1302
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|id=linfunclinfuncdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если
Заметим: <tex> \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0</tex>. По линейности <tex>f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)</tex>, следовательно, <tex>f(0) = 0</tex>.
<tex> \mathrm{Ker}\, f </tex> — линейное подмножество <tex>X</tex> {{TODO: возможно, нужно доказательство}}
Выясним геометрическую структуру ядра.
Напомним свойства отношения эквивалентности:
1. Рефлексивность: <tex>x \sim x</tex>
2. Симметричность: <tex>x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1</tex>
3. Транзитивность: <tex>x_2 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3</tex>
{{Определение
|id=factorsetdef
|definition=
<tex>X</tex> — линейное множество, <tex>Y</tex> линейное подмножество <tex>X</tex>.
Введем отношение эквивалентности на <tex>X</tex>:
<tex> x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y </tex>
<tex> [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} </tex> — '''классы смежности''' по <tex>Y</tex>.
<tex> X /_Y </tex> — совокупность всех классов смежности — '''фактор множество''' по <tex>Y</tex>.
}}
Операции над классами смежности:
<tex> [x] + [y] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [x+y] </tex>
<tex> \alpha [x] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [\alpha x] </tex>
Эти операции не зависят от представителя класса.
Фактор множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:
{{Определение
|id=codimdef
|definition=
<tex>\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y </tex> — '''коразмерность''' <tex>Y</tex>.
<tex>Y</tex> — '''гиперплоскость''' в <tex>X</tex>, если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1</tex>.
}}
