26
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex> Ax = y - y_1, y = Ax + y_1 = Ax + A x_0 = A(x + x_0) </tex>, поэтому <tex> y \in R(A) </tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex> m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.
Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратим.
|proof=
{{TODO|t=Упражнение, доказать самим. Необходимо заткнуть.}}
}}
{{Теорема
|about=Банаха, о гомеоморфизме
|statement=
Пусть <tex> A : X \xrightarrow[]{bijective} Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.
Тогда <tex> A^{-1} </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.
|proof=
Докажем для начала лемму.
{{Утверждение
|statement=
<tex> A : X \xrightarrow[]{linear} Y </tex>. Обозначим <tex> X_n = \{ x \in X: \| Ax \| \le n \| x \| \} </tex>.
Тогда хотя бы одно <tex> X_n </tex> ''всюду плотно в <tex> X </tex>''.
|proof=
Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по теореме Бэра о категориях, <tex> X </tex> {{---}} 2 категории в себе <tex> \implies </tex> в каком-то шаре <tex> \overline{V_r(a)} </tex> есть такое <tex> X_{n_0} </tex>, что оно всюду плотно в этом шаре.
Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>.
При параллельном переносе свойство всюду плотности сохраняется.
}}
}}
