Теорема Банаха об обратном операторе

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Оператор [math] A : X \to Y [/math] называется непрерывно обратимым, если существует [math] A^{-1} : Y \to X [/math] и [math] \| A^{-1} \| \lt \infty [/math].

Теорема:

Пусть [math] X [/math] — B-пространство, оператор [math] C : X \to X, C \in \mathbb{L}(X) [/math] и [math] \| C \| \lt 1 [/math]. Тогда оператор [math] I - C [/math], где [math] I [/math] — тождественный оператор, непрерывно обратим.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \mathbb{L}(X) [/math] — B-пространство. Рассмотрим следующие суммы: [math] S_n = \sum\limits_{k=0}^n C^k [/math]. [math] (I - C)S_n = \sum\limits_{k=0}^n (C^k - C^{k + 1}) = I - C^{n + 1} [/math]. [math] \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k [/math] — ряд в B-пространстве [math] \mathbb{L}(X) [/math] сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Из того, что [math] \| C^k \| \le \| C \|^k [/math], получаем [math] \| \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k \| \le \sum\limits_{k=0}^{\infty} \| C^k \| = \frac 1{1 - \| C \|} \lt \infty [/math]. Так как [math] \| C \| \lt 1 [/math], то существует такой [math] S \in \mathbb{L}(X) [/math], что [math] S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k [/math]. [math] S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S [/math]. Поскольку [math] \| C \| \lt 1 [/math], то [math] \| C^k \| \to 0 [/math], а значит, и [math] C^k \to \math [/math]. TODO: красивый ноль [math] (I - C)S_n = I - C^{n + 1} [/math]. Устремляя [math] n [/math] к бесконечности, получаем [math] (I - C)S = I [/math], а значит [math] S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} [/math] — ограниченный оператор.

[math]\triangleleft[/math]

Трактовка этой теоремы: [math] Ix = x [/math], [math] I [/math] — непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор [math] C [/math] оператор [math] I - C [/math] сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда [math] \| C \| \lt 1 [/math], то есть "при малых возмущениях [math] I [/math] сохраняется его непрерывная обратимость".

Далее считаем, что пространства [math] X [/math] и [math] Y [/math] — всегда банаховы.

Определение:

Рассмотрим уравнение [math] Ax = y [/math] при заданном [math] y [/math]. Если для такого уравнения можно написать [math] \| x \| \le \alpha \| y \| [/math], где [math] \alpha [/math] — константа, то говорят, что это уравнение допускает априорную оценку решений. TODO: Это для всех y сразу, или для каждого y своя константа?

[math] R(A) = \{ Ax \mid x \in X \} [/math] — область значений оператора [math] A [/math], является линейным множеством, но может быть незамкнутым. Однако, верно следующее:

Утверждение:

Если [math] A [/math] непрерывен, и уравнение [math] Ax = y [/math] допускает априорную оценку решений, то [math] R(A) = \mathrm{Cl} R(A) [/math].

[math]\triangleright[/math]

Возьмем сходящуюся последовательсть [math] y_n \in R(A), y_n \to y [/math]. Нужно проверить, правда ли [math] y \in R(A) [/math], или, что то же самое, что уравнение [math] Ax = y [/math] имеет решение для такого [math] y [/math]. [math] y_n \to y \implies \| y_n - y_m \| \to 0 [/math]. Можно выбрать такую подпоследовательность [math] y_n [/math], что для этой подпоследовательности после перенумерации будет выполняться [math] \| y_n - y_{n+1} \| \lt \frac 1{2^n} [/math]. По линейности [math] R(A) [/math]: [math] y_{n+1} - y_n \in R(A) [/math] и для любого [math] n [/math] существует [math] x_n: A x_n = y_{n+1} - y_n [/math]. Поскольку уравнение [math] Ax = y [/math] допускает априорную оценку решений, имеем [math] \| x_n \| \le \alpha \| y_{n+1} - y_n \| [/math]. Рассмотрим следующий ряд: [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n [/math]. Сумма ряда из норм: [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| \le \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| y_{n+1} - y_n \| \le \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1{2^n} = \alpha [/math]. По банаховости [math] X [/math] получаем, что [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n [/math] сходится, и [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = x [/math]. По непрерывности [math] A [/math] получаем, что [math] Ax = A \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} A x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_{n+1} - y_n = y - y_1 [/math]. [math] Ax = y - y_1, y = Ax + y_1 = Ax + A x_0 = A(x + x_0) [/math], поэтому [math] y \in R(A) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math] A : X \to Y [/math] — линейный ограниченный оператор, и [math] m \| x \| \le \| Ax \| [/math]. Тогда [math] A [/math] непрерывно обратим.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

TODO: Упражнение, доказать самим. Необходимо заткнуть.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Банаха, о гомеоморфизме):

Пусть [math] A : X \xrightarrow[]{bijective} Y [/math] — линейный ограниченный оператор. Тогда [math] A^{-1} [/math] — линейный ограниченный оператор.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем для начала лемму. Утверждение: [math] A : X \xrightarrow[]{linear} Y [/math]. Обозначим [math] X_n = \{ x \in X: \| Ax \| \le n \| x \| \} [/math]. Тогда хотя бы одно [math] X_n [/math] всюду плотно в [math] X [/math]. [math]\triangleright[/math] Очевидно, что [math] X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} [/math], [math] X [/math] — B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по теореме Бэра о категориях, [math] X [/math] — 2 категории [math] \implies [/math] в каком-то шаре [math] \overline{V_r(a)} [/math] есть такое [math] X_{n_0} [/math], что оно всюду плотно в этом шаре. Рассмотрим кольцо: [math] \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} [/math]. Обозначим [math] y = z - a [/math], тогда кольцо имеет следующий вид: [math] \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} [/math] — кольцо с центром в [math] 0 [/math]. TODO: Какие-то странные шевеления руками. Разобраться При параллельном переносе свойство всюду плотности множества [math] X_{n_0} [/math] сохраняется. Будем рассматривать [math] z \in X_{n_0} \cap \{\frac r2 \le \| z - a \| \le r \} [/math]. [math] y = z - a, \| Ay \| = \frac {\| A(z - a) \|}{\| y \|} \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| [/math], так как [math] \| y \| \ge \frac r2 [/math]. Поскольку [math] z \in X_{n_0} [/math], то [math] \| Az \| \le n_0 \| z \| [/math]. [math] \| z \| \le \| a \| + \| z - a \| \le r + \| a \| [/math], так как [math] z [/math] принадлежит кольцу. Подставляем и продолжаем неравенство выше: [math] \| Ay \| \le \frac2r (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \| y \| [/math]. Обозначим [math] m = \lceil (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \rceil [/math] (это выражение не зависит от [math] y [/math]), получаем, что [math] \| Ay \| \le m \| y \| \implies y \in X_m [/math]. Итак, получили, что [math] X_m [/math] всюду плотно в кольце с центром в [math] 0 [/math]. Возьмем теперь любой [math] x \in X [/math], его можно представить как [math] x = tz, z \in \{\frac r2 \le \| z \| \le r \} [/math]. По доказанному выше, [math] \exists y_p \in X_m \cap \{\frac r2 \le \| z \| \le r \}, y_p \to z [/math]. Но [math] ty_p \to tz = x [/math]. [math] \| A(ty_p) \| \le m \| t y_p \| \implies ty_p \in X_m [/math]. Взяв любую точку из [math] X [/math], мы можем приблизить ее элементами [math] ty_p \in X_m [/math], а значит, [math] X_m [/math] всюду плотно в [math] X [/math]. [math]\triangleleft[/math] Если [math] A [/math] — биекция, то [math] A^{-1} [/math] существует. Осталось показать, что он будет непрерывен. [math] Y_n = \{ y \in Y \mid \| A^{-1}(y) \| \le n \| y \| \} [/math]. Существует такое число [math] n_0 [/math], что [math] Y_{n_0} = Y^*, \overline{Y^*} = Y [/math] (по доказанной лемме).

[math]\triangleleft[/math]