26
правок
Изменения
Нет описания правки
Следующее следствие из теоремы Банаха связано с открытым отображением.
{{Определение
|definition=
<tex> F : X \to Y </tex> {{---}} произвольное отображение. Если для любого открытого <tex> G \subset X </tex> <tex> F(G) </tex> открыто в <tex> Y </tex>, то <tex> F </tex> называют '''открытым отображением'''.
}}
{{Теорема
|about=об открытом отображении
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. Тогда <tex> A </tex> {{---}} открытое отображение.
|proof=
<tex> Z = \mathrm{Ker} A </tex> {{---}} линейное подпространство в <tex> X </tex>. <tex> X|_Z </tex> {{---}} фактор подпространства.
<tex> i : X \to X|_Z, i(x) = [x]</tex>, где <tex> [x] </tex> {{---}} класс смежности <tex> x </tex>.
{{TODO|t=Отсюда и до конца полный мрак}}
Такое отображение называют '''каноническим вложением'''. <tex> i </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, который переводит открытое множество в <tex> X </tex> в открытое множество в <tex> X|_Z </tex>.
<tex> U_A : X|_Z \to Y, U_A([x]) = Ax </tex> {{---}} оператор, ассоциированный с <tex> A </tex>. {{TODO|t=доказать это}}
<tex> A = U_A \cdot i </tex>, причем по построению ясно (нифига не ясно), что разные классы он переводит в разные точки <tex> Y </tex>.
<tex> U_A : X|_Z \xrightarrow[]{bijective} R(A) \implies U_A^{-1} </tex> {{---}} ограничен (по теореме Банаха), значит <tex> U_A </tex> открыт, суперпозиция открытых открыта, а, получается, и <tex> A </tex> открыт.
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
