Изменения

'''Линейное (векторное) пространство над полем $<tex>K$</tex>''' — это множество $<tex>L$ </tex> с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:* По операции сложения $<tex>L$ </tex> является абелевой группой — выполняются:** ассоциативность — $<tex>\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$</tex>;** существование нейтрального элемента — $<tex>\exists \mathrm{0} \in L \ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$</tex>, причем можно показать, что он единственный;** существование обратного элемента — $<tex>\forall x \in L \ \exists y: x + y = \mathrm{0}$</tex>, такой $<tex>y$ </tex> называют обратным к $<tex>x$</tex>, причем можно показать, что он единственный;** коммутативность — $<tex>\forall x, y \in L: x + y = y + x$</tex>;

** ассоциативность умножения на скаляр — $<tex>\forall \alpha, \beta \in K \ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$</tex>;** унитарность: $<tex>\forall x \in L: 1 \cdot x = x$</tex>, где $<tex>1$ </tex> — единица по умножению в поле $<tex>K$</tex>;** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $<tex>\forall \alpha \in K \ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$</tex>;** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $<tex>\forall \alpha, \beta \in K \ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$</tex>.

Функция $<tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}$ </tex> называется нормой в пространстве $<tex>L$</tex>, если для нее выполняется:# $<tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0$</tex>, $<tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}$</tex># $<tex>\forall \alpha \in \mathbb{R} \ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|$</tex># $<tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|$</tex>

Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $<tex>\rho(x, y) = \| x - y \|$</tex>. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $<tex>\mathbb{R}^{\infty}$ </tex> c $<tex>\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ </tex> и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.

Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы {{Утверждение|statement=В нормированных пространствах линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO чтонепрерывны.|proof=Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>. Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) -то не особенно понял(x + y)\| \le \|x_n + x\| + \|y_n + y\| \to 0</tex>. <tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, к чему тут этотак как <tex> \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.}}

* $<tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$</tex>* $<tex>X = C[a; b]$ </tex> — пространство непрерывных на $<tex>[a; b]$ </tex> функций, $<tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$</tex>* $<tex>X = L_p$ </tex> — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,$<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.

Нормированное пространство $<tex>(X, \|\cdot\|)$ </tex> называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $<tex>X$</tex>, для которых из $<tex>\|x_n - x_m\| \to 0$ </tex> при $<tex>n, m \to \infty$ </tex> вытекает существование предела последовательности.

Нормы $<tex>\| \|_1$</tex>, $<tex>\| \|_2$ </tex> '''эквивалентны''', если существуют константы $<tex>m, M > 0$ </tex> такие, что $<tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2$</tex>. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).

Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $<tex>x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$</tex>. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???. {{Определение|definition=Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', если <tex> \exists n = dim X < \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>.}}

Докажем, что произвольная норма $<tex>\| \|$ </tex> в конечномерном пространстве $<tex>X$ </tex> эквивалентна $<tex>\| \|_2$</tex>, то есть выберем $<tex>m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2$</tex>, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.

TODO: сначала надо что-то сказать про изоморфность конечномерных пространств, чтоли? Выберем и зафиксируем в пространстве $<tex>X$ </tex> произвольный базис $<tex>(e_1 \dots e_n)$</tex>.

1. $<tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k$</tex>, $<tex>\| x \| = \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le $ </tex> (по [[неравенству Коши для сумм]]) $ <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}$</tex>. Заметим, что $<tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}$ </tex> является нормой $<tex>\| \|_2$ </tex> в координатной записи, а $<tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}$ </tex> является константным значением для фиксированного базиса.

Таким образом, получили $<tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2$</tex>.

2. Теперь надо доказать, что $<tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|$</tex>

Рассмотрим единичный шар по норме $<tex>\| \|_2$</tex>: $<tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}$</tex>, $<tex>S_2$ </tex> является компактом в $<tex>\mathbb{R}^n$ </tex> (TODO: почему? может, [http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/functional_analysis/pdf/chap3.pdf тут] есть подсказка). Рассмотрим на нем функцию $<tex>f : S_2 \to \mathbb{R}$</tex>, $<tex>f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|$</tex>. Покажем, что она непрерывна: $<tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}$</tex>, то есть при стремлении $<tex>\Delta \alpha_k $ </tex> к $<tex>0$</tex>, расстояние между $<tex>f(\overline \alpha)$ </tex> и $<tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)$ </tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.

Так как $<tex>f$ </tex> непрерывна на $<tex>S_2$</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный $<tex>m$ </tex> (пусть он достигается в точке $<tex>\overline \alpha^*$</tex>). Также $<tex>f$ </tex> не может быть нулем на $<tex>S_2$</tex>: пусть для какого-то $<tex>x \in S_2$ </tex> это так, тогда тогда $<tex>\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0$</tex>, что означает, что $<tex>x \notin S_2$</tex>, то есть $<tex>m > 0$</tex>.

Теперь рассмотрим произвольный ненулевой $<tex>x \in \mathbb{R}^n$</tex>, тогда точка $<tex>x' = {x \over \|x\|_2}$ </tex> также принадлежит $<tex>\mathbb{R}^n$ </tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит $<tex>S_2$</tex>. Рассмотрим $<tex>x'$</tex>: $ <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m$</tex>, то есть $<tex>m \| x \|_2 \le \|x\|$</tex>.

Таким образом, получили обе части тройного двойного неравенства.

Следствие: {{Теорема|statement=Пусть $<tex>X$ </tex> — НП и $<tex>Y$ </tex> — линейное конечномерное подпространство в $<tex>X$</tex>, тогда $<tex>Y$ </tex> — замкнуто в $<tex>X$</tex>, т.е. $<tex>\mathrm{Cl} Y$ — TODO: пшшш= Y</tex>.|proof=}}

Пример: $ <tex> X = C[0; 1]$</tex>, $<tex>Y$ </tex> — пространство всех полиномов {{TODO: полиновов какой степени? |t=дописать утверждение}}