1679
правок
Изменения
немного пофиксил, ща доделаю
}}
{{Определение|definition='''$x_n$ сходится к $x = \lim$ по системе полунорм $\limits_{p p_m\to \infty} x_p $ определеяется как то''', что все если $p_np_m(x_n - x - x_p) \xrightarrow[p \to \infty]{} 0$, то есть при всех $pm$ гарантирует единственность .}} Единственность пределагарантирована: если $x' = \lim\limits_{p n \to \infty} x_px_n$, все $p_np_m(x' - x_px_n) \to 0$, $p_np_m(x - x') \le p_np_m(x - x_px_n) + p_np_m(x' - x_px_n)$, то есть при стремлении $pn$ к нулюбесконечности, $p_np_m(x - x')$ тоже стремится к нулю и $x = x'$. Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных TODO: но обратное в общем случае неверно.
Счетно-нормированные пространства можно нормировать метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} 2{p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.
Пример:
* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$, следовательно, его можно рассматривать как счетно-нормированное пространство и как метрическое.
Возникает вопрос в каком случае можно нормировать: , то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм. TODO пшшш какая-то непонятная хрень про монотонность {{Определение|definition=Система полунорм$\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(X)$. Две системы }} Можно считать, что система полунорм эквивалентнывсегда удовлетворяет условию монотонности, если они порождают одну и так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость., что и исходная TODO: показать это чтоли
{{Определение
|definition=
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если $\forall p_n \exists q_{m_n} \exists c_n \forall x \in X: p_n(x) < c_n q_{m_n}(x)$, $c_n$ — константа. TODO не пойму, $q_{m_n}$ означает просто что какой-то номер $m$, свой для конкретного $n$ или что?
}}
В обратную сторону: пусть они мажорируют друг друга, тогда $q_n(x) \le c_n p_m(x)$, то есть из сходимости $p_m(x)$ следует сходимость $q_n(x)$. Аналогично из $p_n(x) \le c_n q_m(x)$ и сходимости $q_m(x)$ следует сходимость $p_n(x)$.
В прямую сторону: TODO пусть $\{p_n\}$ и $\{q_n\}$ эквивалентны. Установим, что-$\{q_n\}$ мажорирует $\{p_n\}$. Докажем от противного: пусть существует $p_{n_0}$, не мажорируемая $\{q_n\}$, то я есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_{n_0}(x_n) \ge n q_n(x_n)$. TODO блин, тут, кажется, $n$ клашится, нифига не понял в конспектепонятно ((
}}
Критерий нормируемости счетно-нормированного пространства: система полунорм существенна, если не мажорируется ни одной из предыдущих полунорм (TODO пшшш в скобках).TODO: видимо, тут хотят сказать, что $\forall m > n:
{{Теорема
