Изменения

Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = 0 \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.}} Или в стиле определения обычного экстремума:{{Определение|definition=Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.