418
правок
Изменения
→Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути
=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Теорема
|statement=
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.
2) Аддитивность при дроблении пути: если раздробили путь <tex> \gamma </tex> на <tex> \gamma_1 </tex> и <tex> \gamma_2 </tex>, то <tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.
3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex>, то <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.
4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:
<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [a; b + d - c]
\end{cases} </tex>,
то <tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.
5) Оценка интеграла: <tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.
}}
=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
