Изменения

Если <tex> A </tex> {{---}} биекция, то <tex> A^{-1} </tex> существует. Осталось показать, что он будет непрерывенограничен.

Представим <tex>Y</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} Y_n</tex>, <tex> Y_n = \{ y \in Y \mid \| A^{-1}(y) \| \le n \| y \| \} </tex>(заметим, что для леммы не требуется ограниченность оператора).

Существует По только что доказанной лемме, существет такое число <tex> n_0 </tex>, что <tex> \mathrm{Cl} Y_{n_0} = Y^*</tex>, \mathrmобозначим этот <tex>Y_{Cln_0} </tex> как <tex>Y^* = Y </tex> (по доказанной лемме).

Зафиксируем Рассмотрим произвольный <tex> y \in Y </tex>. Существует Покажем, что существует такое разложение <tex> y = \sum\limits_1limits_{n=1}^{\infty} y_n </tex>, что <tex> y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>. Покажем, как его получить.

По всюду плотности, для любого <tex> \varepsilon </tex> можно подобрать <tex> y_1 \in Y^* : \| y - y_1 \| < \varepsilon \| y \| </tex>.Дальше можно подобрать <tex> y_2 \in Y^* : \| (y - y_1) - y_2 \| < \frac {\varepsilon}2 \| y \| </tex>, и так далее, получаем, что <tex> \| y - \sum\limits_{TODOk = 1}^n y_k \|t=Ниже где< \frac {\varepsilon}{2^{n-то потерялась норма 1}} \| y\| </tex>. Вроде она должна быть.}}

Для любого Проверим, что для всех <tex> \varepsilon y_n</tex> можно подобрать их норма удовлетворяет условию разложения: <tex> y_1 : \| y - y_1 y_n \| < \varepsilon le \| \sum\limits_{k = 1}^n y_k - y + y - \sum\limits_{k = 1}^{n-1} y_k \| </tex>.Дальше можно подобрать <tex> y_2 : \le \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| + \| (y - y_1) \sum\limits_{k = 1}^{n - y_2 1} y_k \| < \le \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| + \frac {\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| = \frac {3\varepsilon}{2^{n-2 }} \| y \| </tex>, и так далее...

Получаем, что <tex> \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| < \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| </tex>.  <tex> \| y_n \| \le \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| + \| y - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} y_k \| \le \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| + \frac {\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| = \frac {3\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| </tex> В качестве <tex> \varepsilon </tex> выберем <tex> \frac 12 14 </tex>, и получим необходимое разложение <tex> y </tex>.

Обозначим <tex> x_n = A^{-1}(y_n) </tex>. Рассмотрим ряд из <tex> x_n </tex>: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>: правда ли, что ряд проверим сходимость ряда из норм сходится? : <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| < \infty </tex>.

Вспомним, что <tex> y_n \in Y^* = Y_{n_0} </tex>.

<tex> \| x_n \| = \| A^{-1}(y_n) \| \le n_0 \| y_n \| \le n_0 \frac 3{2^n} \| y \| </tex>: ряд из <tex> \| x_n \| </tex> мажорируется убывающей геометрической прогрессией, а значит, сходится. Получили, что существует <tex> x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>.

Используем непрерывность <tex> A </tex>: <tex> Ax = \sum\limits_{n=1}^{\infty} Ax_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n = y </tex>, получили, что <tex> Ax = y, A^{-1}(y) = x </tex>.

Рассмотрим норму <tex> A^{-1}(y) </tex>: <tex> \| A^{-1}(y) \| = \| x \| = \| \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n \| \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} 3n_0 \| y \| \frac 1{2^n} = 3n_0 \| y \| </tex>.