1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Утверждение
|about=замкнутость спектра
|statement=
<tex>\rho(A)</tex> {{---}} открытое множество в <tex>\mathbb C</tex>;
|proof=
Пусть <tex>\lambda_0 \in \rho(A)</tex>, тогда существует <tex>\exists R_{\lambda_0}</tex>.
<tex>A - \lambda I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0) I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0) (A - \lambda_0 I) R_{\lambda_0} = (A - \lambda_0 I) (I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0})</tex>
Тогда и оператор <tex>A - \lambda I</tex> тоже непрерывно обратим, так как <tex> (A - \lambda I)^{-1} = ((A - \lambda_0 I) (I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0}))^{-1} = (I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0})^{-1} (A - \lambda_0 I)^{-1} </tex>, и тогда он непрерывен как компзиция непрерывных.
Нужное нам условие выполняется для всех , если <tex>|\lambda- \lambda_0| </tex> из шара <tex>\frac1{\|R_{\lambda_0}\|}</tex>, таким образом, любая точка <tex>\lambda_0</tex> множества <tex>\rho(A)</tex> входит в него вместе с некоторой окрестностью.
}}
{{Утверждение
|about=вхождение спектра в круг радиуса <nowiki>||А||</nowiki>
|statement=
<tex>\{ |\lambda| > \|A\|\} \subset \rho(A)</tex>
