Теоретический минимум по функциональному анализу за 5 семестр — различия между версиями
(→1 Определение МП, замыкание в МП.) |
(→2 Принцип вложенных шаров в полном МП.: пришло время запиливать теормин) |
||
| Строка 18: | Строка 18: | ||
= 2 Принцип вложенных шаров в полном МП. = | = 2 Принцип вложенных шаров в полном МП. = | ||
| + | {{Утверждение | ||
| + | |about= | ||
| + | принцип вложенных шаров | ||
| + | |statement= | ||
| + | Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset</tex>, и состоит из одной точки. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
= 3 Теорема Бэра о категориях. = | = 3 Теорема Бэра о категориях. = | ||
= 4 Критерий компактности Хаусдорфа в МП. = | = 4 Критерий компактности Хаусдорфа в МП. = | ||
Версия 16:56, 11 января 2013
Содержание
- 1 1 Определение МП, замыкание в МП.
- 2 2 Принцип вложенных шаров в полном МП.
- 3 3 Теорема Бэра о категориях.
- 4 4 Критерий компактности Хаусдорфа в МП.
- 5 5 Пространство [math]R^{\infty}[/math] : метрика, покоординатная сходимость.
- 6 6 Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.
- 7 7 Эквивалентность норм в конечномерном НП.
- 8 8 Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.
- 9 9 Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.
- 10 10 Банаховы пространства на примерах [math]C [0,1][/math] и [math]L_p(E)[/math].
- 11 11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.
- 12 12 Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.
- 13 13 Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.
- 14 14 Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.
- 15 15 Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.
- 16 16 Наилучшее приближение в [math]H[/math] для случая выпуклого,замкнутого множества, [math]H = H_1 \oplus H_2[/math].
- 17 17 Счетно-нормированные пространства, метризуемость.
- 18 18 Условие нормируемости СНТП.
- 19 19 Функционал Минковского.
- 20 20 Топология векторных пространств.
- 21 21 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП.
- 22 22 Коразмерность ядра линейного функционала.
- 23 23 Непрерывный линейный функционал и его норма.
- 24 24 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.
- 25 25 Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.
- 26 26 Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).
- 27 27 Два следствия из теоремы Хана-Банаха.
- 28 28 Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в [math]H[/math].
- 29 29 Непрерывный линейный оператор и его норма.
- 30 30 Продолжение линейного оператора по непрерывности.
- 31 31 Полнота пространства [math]L(X,Y)[/math].
- 32 32 Теорема Банаха-Штейнгауза.
- 33 33 Условие замкнутости множества значений линейного оператора на базе априорной оценки решения операторного уравнения.
- 34 34 Условие непрерывной обратимости лин. оператора.
- 35 35 Теорема Банаха о непрерывной обратимости [math]I-C[/math].
- 36 36 Лемма о множествах [math]X_n = {||Ax|| \lt n ||x||}[/math].
- 37 37 Теорема Банаха об обратном операторе.
- 38 38 Теорема о замкнутом графике.
- 39 39 Теорема об открытом отображении.
- 40 40 Теорема о резольвентном множестве.
- 41 41 Теорема о спектральном радиусе.
- 42 42 Аналитичность резольвенты.
- 43 43 Непустота спектра ограниченного оператора.
1 Определение МП, замыкание в МП.
| Определение: |
Для некоторого множества , отображение — называется метрикой на , если выполняются аксиомы
|
| Определение: |
| Замыкание (closure) множества называется множество , где — замкнутые множества. |
2 Принцип вложенных шаров в полном МП.
| Утверждение (принцип вложенных шаров): |
Пусть — полное. — замкнутые шары. , . Тогда , и состоит из одной точки. |
