Изменения

Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> a </tex> — мультииндекс, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{\alpha: (|\alpha) | = r} \frac{r!}{\alpha!} a^{\alpha} </tex>|proof=Индукция по <tex>r</tex> <tex> r = 1 </tex> <tex> \alpha = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex> <tex> r = r + 1 </tex> <tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{\alpha_1! ... \alpha_m!} \cdot a_1^{\alpha_{1}} ... a_m^{\alpha_{m}} = </tex> <tex> = \sum \frac{r!}{\alpha_1! ... \alpha_m!} \cdot a_1^{\alpha_{1}+1} ... a_m^{\alpha_{m}} + \sum \frac{r!}{\alpha_1! ... \alpha_m!} \cdot a_1^{\alpha_{1}} a_2^{\alpha_2 + 1} ... a_m^{\alpha_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{\alpha_1! ... \alpha_m!} \cdot a_1^{\alpha_{1}} ... a_{m-1}^{\alpha_{m - 1}} a_m^{\alpha_{m + 1}} = </tex> <tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - \alpha </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>; <tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс <tex> (\alpha_1 + 1, \alpha_2 ... \alpha_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>