Изменения

Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно (петельно) гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>.Тоже верно для петельной гомотопии.|proof=<tex> \Gamma </tex> — гомотопна. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex> <tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная <tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна) <tex> \Gamma : \overline{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to 0 </tex> — равномерно непрерывна. <tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>