277
правок
Изменения
→Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}
Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in V'C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.
=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
