Изменения

<tex>\Rightarrow</tex>:Пусть <tex>L</tex> {{---}} регулярный. Тогда существует автомат <tex>A</tex>, распознающий его. Рассмотрим произвольное слово <tex>y</tex>. Пусть <tex>u</tex> {{---}} состояние <tex>A</tex>, в которое можно перейти из начального по слову <tex>y</tex>. Тогда <tex>C_L^R(y)</tex> совпадает с множеством слов, по которых из состояния <tex>u</tex> можно попасть в допускающее. Причем если по какому-то слову <tex>z</tex> тоже можно перейти из начального состояния в <tex>u</tex>, то <tex>C_L^R(y) = C_L^R(z)</tex>. Наоборот, если <tex>C_L^R(y) = C_L^R(z)</tex>, то состояния, в которые можно перейти по словам <tex>y</tex> и <tex>z</tex>, эквивалентны. Таким образом, можно установить взаимное соответствие между правыми контекстами и классами эквивалентности вершин автомата, которых конечное число.

Если множество двухсторонних контекстов языка конечно, то, очевидно, конечно и множество его правых контекстов, а это значит, что язык регулярный.

Пусть <tex>L</tex> {{---}} регулярный. Тогда существует автомат <tex>A</tex>, распознающий его. Рассмотрим произвольное слово <tex>y</tex>. Пусть <tex>\langle i,y \rangle \vdash^* \langle u_i(y), \varepsilon \rangle, i = 1,2,\ldots,n</tex> (<tex>n</tex> - число состояний <tex>A</tex>). Если для какого-то слова <tex>z</tex> выполняется <tex>u_i(y) = u_i(z), i = 1,2,\ldots,n</tex>, то <tex>C_L(y) = C_L(z)</tex>. Наоборот, если <tex>C_L(y) = C_L(z)</tex>, то <tex>u_i(y) \sim u_i(z), i = 1,2,\ldots,n</tex>. Таким образом, можно установить взаимное соответствие между двухсторонними контекстами и классами эквивалентности наборов <tex>u_i</tex>, которых конечное число, поскольку каждое число <tex>u_i</tex> принимает значения от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>.