Изменения

Предположим, что проводится серия экспериментов с возможными исходами <mathtex>s_1,s_2,s_3,...s_n</tex>. Назовём эти исходы '''состояниями'''. *<tex>p_i^{(1)} = p_1^{(0)} </tex> — вероятность того, что мы начинаем в состоянии <tex>s_i</tex>*<tex>p_{1iij} + p_2^{(0)}p_{2i} + p_3^{(0)}p_{3i} + </tex> — вероятность того, что в результате эксперимента состояние было изменено от состояния <tex>s_i</tex> к состоянию <tex>s_j</tex>... +p_nЕсли <tex>p_i^{(01)}p_{ni}(*)</mathtex> вероятность того, что исходом эксперимента будет состояние <tex>s_i</tex> . Тогда

а это Это означает, что вероятность исхода в состоянии <mathtex>s_i</mathtex> равна сумме вероятностей начать эксперимент в некотором другом состоянии и окончить в <mathtex>s_i</mathtex>.

<mathtex>p_{j1}+p_{j2}+p_{j3}+ ... +p_{jn} = 1</mathtex>*Матрица T называется матрицей перехода.В общем случае она имеет вид:

<mathtex> p^{(0)}=</mathtex><mathtex>(p_1^{(0)},p_2^{(0)},p_3^{(0)},... ,p_n^{(0)})</mathtex> и <mathtex> p^{(1)}=</mathtex><mathtex>(p_1^{(1)},p_2^{(1)},p_3^{(1)},...,p_n^{(1)})</mathtex>

<mathtex> (p_1^{(1)},p_2^{(1)},p_3^{(1)}... ,p_n^{(1)})=</mathtex><mathtex>(p_1^{(0)},p_2^{(0)},p_3^{(0)}.. ,p_n^{(0)})</mathtex><mathtex>

</mathtex> Использование матриц приводит к более компактной записи условий.По своей сути, перемножение строки <math> p_i^{(0)} </math> с матрицей <math> T </math> эквивалентно уравнению <math> (*) </math> ,рассмотренному ранее.     ---- == Пример: Прогноз погоды == ''Условие:'' Погода классифицируется в прогнозах как ясная, умеренно пасмурная и пасмурная. 1)Если погода ясная, то вероятность, что она будет ясной на следующий день, составляет 0.5; вероятность, что она будет умеренно пасмурной, равна 0.4;а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет 0.1.

2Использование матриц приводит к более компактной записи условий.По своей сути, перемножение строки <tex> p_i^{(0)Если погода умеренно пасмурная, то вероятность, что на следующий день она будет ясной} </tex> с матрицей <tex> T </tex> эквивалентно уравнению <tex> (*) </tex>, равна 0рассмотренному ранее.3; вероятность== Прогноз погоды ===== Условие ===Погода классифицируется в прогнозах как ясная, что погода останется умеренно пасмурной, равна 0.5; а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет 0.2пасмурная и пасмурная.

#Если погода ясная, то вероятность, что она будет ясной на следующий день, составляет 0.5; вероятность, что она будет умеренно пасмурной, равна 0.4; а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет 0.1. #Если погода умеренно пасмурная, то вероятность, что на следующий день она будет ясной, равна 0.3); вероятность, что погода останется умеренно пасмурной, равна 0.5; а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет 0.2.#Если же погода пасмурная то вероятность, что на следующий день она останется пасмурной, равна 0.4; вероятность, что она станет умеренно пасмурной, равна 0.4; а вероятность того, что она будет ясной на следующий день составляет 0.2.

Вопрос 21 :Какова Если вероятность ясной погоды в воскресенье равна 0.6, а вероятность умеренно пасмурности — 0.4, то какова вероятность, что во вторник погода в понедельник будет умеренно пасмурнойясной?

и вероятность, что в понедельник будет ясная погода,равна <tex>0.42</tex>.  Пусть <tex>p_1^{(2)} </tex> — вероятность того, что во вторник будет ясная погода, <tex>p_2^{(2)} </tex> — вероятность того, что во вторник будет умеренно пасмурно и <tex>p_3^{(2)} </tex> — вероятность того, что во вторник будет пасмурно.

Пусть <tex>p_1^{(2)} -</tex> вероятность того, что во вторник будет ясная погода, <tex>p_2^{(2)} -</tex> вероятность того, что во вторник будет умеренно пасмурно и <tex>p_3^{(2)} -</tex> вероятность того, что во вторник будет пасмурно.Пусть <tex>p^{(2)} = </tex> <tex> (p_1^{(2)},p_2^{(2)},p_3^{(2)})</tex>.Тогда

 Следовательно, вероятность того, что во вторник будет умеренно пасмурная погода равна <tex>0.444.</tex>.

Пусть <tex>p_i^{(m)} -</tex> — вероятность ,что исходом m-го проведения эксперимента будет состояние <tex>s_i</tex> и

|id=идентификатор (необязательно), пример: th1.

|proof=Докажем теорему, используя индукцию.Было показано(в примере про погоду), что для <tex> m = 1 </tex> утверждение справедливо.Предположим,что оно справедливо для <tex>n=k</tex> ,так что <tex>p^{(k)} =</tex> <tex>p^{(0)} \times T^{(k)}.</tex>Поскольку

== Оценка будущих продаж ==Цепи Маркова также применяются при оценке будущих продаж. Например, сделав опрос среди покупателей той или иной марки автомобиля о их следующем выборе, можно составить матрицу <tex> T </tex>. === Условие ===В процессе опроса владельцев автомобилей трех американских марок: марки A, марки B, марки С, им был задан вопрос о том, какую торговую марку они бы выбрали для следующей покупки. #Среди владельцев автомобилей марки A 20% сказали, что они бы перешли на марку B, а 30% заявили, что предпочли бы марку С. #Среди владельцев автомобилей марки B 20% сказали, что перейдут на марку A, в то время как 70% заявили, что приобрели бы опять автомобиль марки B, а 10% заявили, что в следующий раз предпочли бы марку C. #Среди владельцев автомобилей С, 30% ответили, что перешли бы на марку A, 30% сказали, что перешли бы на марку B, а 40% заявили, что остались бы верны той же марке С. Вопрос 1 : Если некто приобрел автомобиль марки A, то какова вероятность, что его второй машиной будет автомобиль марки C? Вопрос 2 : Если при покупке первой машины покупатель подбросил монету, выбирая между автомобилями марки B и С, то какова вероятность, что его третьей машиной станет автомобиль марки B?  === Решение === Матрица перехода для этого события имеет вид: <tex>\begin{bmatrix}0.2 & 0.5 & 0.3 \\0.2 & 0.7 & 0.1 \\0.3 & 0.3 & 0.4\end{bmatrix}</tex> Для ответа на первый вопрос имеем: <tex>p^{(0)} =</tex> <tex>(1,0,0)</tex> поэтому  <tex>p^{(1)} = </tex> <tex>(1,0,0) \times</tex><tex>\begin{bmatrix}0.2 & 0.5 & 0.3 \\0.2 & 0.7 & 0.1 \\0.3 & 0.3 & 0.4\end{bmatrix}</tex><tex> = </tex><tex>(0.2,0.5,0.3)</tex> Вероятность того, что вторая машина будет марки С, равна 0.3.Для вопроса (2) требуется найти  <tex>T^{(2)} = </tex><tex>\begin{bmatrix}0.23 & 0.54 & 0.23 \\0.21 & 0.62 & 0.17 \\0.24 & 0.48 & 0.28\end{bmatrix}</tex> Для (2) имеем <tex>p^{(2)} = </tex> <tex>(0,0.5,0.5) \times</tex> и  <tex>p^{(2)} = </tex> <tex>(0,0.5,0.5) \times</tex><tex>\begin{bmatrix}0.23 & 0.54 & 0.23 \\0.21 & 0.62 & 0.17 \\0.24 & 0.48 & 0.28\end{bmatrix}</tex><tex> = </tex><tex>(0.225,0.55,0.225)</tex>поэтому вероятность того, что второй автомобиль будет марки A равна 0.225.     == Литература ==* ''Марков А. А.'', Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. — Известия физико-математического общества при Казанском университете. — 2-я серия. — Том 15. (1906) — С. 135—156.* ''Kemeny J. G., Snell J. L.'', Finite Markov chains. — The University Series in Undergraduate Mathematics. — Princeton: Van Nostrand, 1960 (перевод: ''Кемени Дж. Дж., Снелл Дж. Л.'' Конечные цепи Маркова. — М.: Наука. 1970. — 272 с.) [[Категория:Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Марковские цепи ]]