Изменения

Нормы <tex>\| \cdot \|_1</tex>, <tex>\| \cdot \|_2</tex> '''эквивалентны''', если существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что сходимость в них равносильна: <tex>\forall x\{x_n\}: mx_n \|xxrightarrow[]{\|_2 \le \|_1} x\|_1 Leftrightarrow x_n \le M xrightarrow[]{\|x\|_2} x</tex>. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).

{{Утверждение|statement=Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \Longleftrightarrow </tex> существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>.|proof={{TODO|t=Это определение равносильно томубыло "очевидно". Доказал: --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:46, 13 января 2013 (GST). Проверьте и, если все хорошо, уберите данную плашку.}} Несложно показать, что сходимость последовательностей в них равносильнаиз взаимной ограниченности норм следует равносходимость:  <tex>x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow Rightarrow \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < \varepsilon \Rightarrow </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \frac \varepsilon m \Rightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>; <tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \Rightarrow \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \varepsilon \Rightarrow </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < M \varepsilon \Rightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x</tex>. Несложно показать Теперь убедимся, что из без взаимной ограниченности норм следует равносходимостьравносходимости также не будет: Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы <tex> M </tex>. Значит, существует последовательность <tex> \forall x_n: \|x\|_1 \ge n \|x\|_2 </tex>. Рассмотрим тогда последовательность <tex> \frac {x_n}{\|x_n\|_1} </tex>.  В обратную сторонунорме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: ???<tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 \le \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\| = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть, последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.}}

Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке | теореме Вейерштрасса]] , любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.