Альтернатива Фредгольма — Шаудера

[math]X = C[0;1][/math], [math]K(u,v)[/math] непрерывен на [math][0;1]^2[/math]

[math]A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1][/math]

A — комплексный оператор ([math]A \colon [0;1] \to [0;1][/math])

Интегральные уравнения Фредгольма: [math]f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds[/math] в [math]C[0;1][/math].

X — B-пространство, [math]A \colon B \to B[/math], A — компактный. [math]T = \lambda I - a[/math]

Задача: когда [math]Tx=y[/math] разрешимо?

[math]y = \lambda x - A x[/math] — операторные уравнения второго рода (явно выделен I). Уравнения первого рода ([math]y=Bx[/math]) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: [math]y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} \lt 1 [/math], следовательно, по теореме Банаха, [math]I - \frac 1 \lambda A[/math] непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших [math]\lambda[/math], [math]y=\lambda x - A x[/math] разрешимо при любой левой части, причём решения x будут непрерывно зависеть от y. Интересна ситуация при [math]|\lambda| \lt \|A\|[/math]. В случае комплексного A ответ даёт теория Шаудера.

Далее будем считать [math]\lambda = 1[/math]. [math]T = I - A,~Ker~T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}[/math], таким образом, ядро T — неподвижные точки A. [math]\overline V[/math] — единичный шар, [math]Y = Ker~T[/math] — подпространство X. [math]dim~Ker~T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W[/math]. Но так как A — компактный, [math]\overline W[/math] — компакт в Y, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если A — компактный, то [math]dim~Ker(I-A) \lt + \infty[/math].