Изменения
ещё пара теорем
}}
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{H})x\| \ge m\|x\|</tex>
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел
Докажем первый пункт
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Требуемое неравенство{{---}} непрерывность резольвентного оператора
2. <tex>\exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| > m\|x\|</tex> {{---}} в силу прошлой теоремы.
Второй пункт {{---}} проверить самим. Это просто логическое отрицание первого.
}}
Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex>
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex>
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex>
Аналогично для <tex>m_-</tex>
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>
2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
|proof='''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex>
Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>
Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex>
Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.
<tex>m_+ = \sum\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>
По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex>
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \le \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex>
<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex>
{{Определение
|definition=<tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>
}}
Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца:
<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex>
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>
<tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \to 0</tex>
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex>
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:
<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle| \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex>
<tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex>
}}
<s>{{TODO|t=на время отпускаю блокировку на статью}}</s>
{{TODO|t=lock}}
