Вопросы к экзамену по функциональному анализу за 6 семестр

1. [math]A^*[/math] и его ограниченность.
2. Ортогональные дополнения [math]E[/math] и [math]E^*[/math].
3. Ортогональное дополнение [math]R(A)[/math].
4. Ортогональное дополнение [math]R(A^*)[/math].
5. Арифметика компактных операторов.
6. О компактности [math]A^*[/math], сепарабельность [math]R(A)[/math].
7. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.
8. Почти конечномерность компактного оператора.
9. Размерность [math]\operatorname{Ker}(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].
10. Замкнутость [math]R(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].
11. Лемма о [math]\operatorname{Ker}(I-A)^n[/math] компактного [math]A[/math].
12. Условие справедливости равенства [math]R(I-A)=E[/math].
13. Альтернатива Фредгольма-Шаудера.
14. Спектр компактного оператора.
15. Определение самосопряженного оператора, неравенство для [math](a+ib)I-A[/math].
16. Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора.
17. Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора.
18. Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора.
19. Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел [math]m-[/math] и [math]m+[/math].
20. Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма.
21. Теорема Гильберта-Шмидта.
22. Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.
23. Локальная сходимость метода простой итерации.
24. Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений.
25. Проекторы Шаудера.
26. Теорема Шаудера о неподвижной точке.