689
правок
Изменения
м
<wikitex>
Следующие две теоремы — условие разрешимости операторных уравнений. Смысл: $Ax = y$, $y$ — дано, то ответ на вопрос, есть ли решение, состоит в проверке $y \in R(A)$, но можно ограничиться $R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot$, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: $y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*$.
Например, $A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$, $A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$. $R(A) = \operatorname{Cl} R(A)$, $Ax = y$, $y$ — дано. Надо смотреть $y \perp \operatorname{Ker} A^*$, то есть $A^\top y = 0$Следующие две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.
Далее Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>. Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>. В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых $<tex>R(A)$ </tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.
$<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*$</tex>, $<tex>A^* \varphi = 0$, $</tex>. <tex>\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0$</tex> Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.
$y \in R(A) \implies y = Ax, \varphi \in \operatorname{Ker} A^* \implies <tex> \varphi y = \varphi(A x) = 0 \implies </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp$</tex>.
$Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A), \varphi \in \operatorname {Ker}^* (A)$ $\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp$ $\implies y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies(?) y \in \operatorname{Cl}(R(A))$</tex>.
Проверим обратное:$y <tex>\varphi(y_n) = 0, \in varphi(y_n) \operatornamexrightarrow[]{Kern \to \infty}A^*\varphi(y)^\perp implies \implies varphi(?y) y \in = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl} (R(A)$. Пусть это не так: $ y ) \notin subset (\operatorname{ClKer} R(A^*))$. ^\perp</tex>
Рассмотрим Проверим обратное включение:<tex> F_1 = y \in (\operatorname{ z + ty Ker}A^*)^\perp \mid z implies y \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. $F_1$ {{---}} линейное множество в силу линейности $Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl}(R(A))$</tex>.
ПокажемРассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), что это подпространство t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности $F$<tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
$\operatorname{Cl}(Покажем, что <tex>F_1) = F_1 ?$</tex> -- подпространство <tex>F</tex>.
Если $\mid t_{n}\mid Пусть <= const \implies$ выберем $t_{n_k}$, стремящееся к какому-то $t$. Из $tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to = z + ty \implies z_n \to z </tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl}R(F_1)$</tex>.
$z_Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n_kn}y \to z+ty$ и $z_{n_k}+u, t_{n_k}y \to z+ty </tex> получаем <tex> z_n \implies u = to z+ty$\in \operatorname{Cl}(F_1)</tex>.
$<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u$</tex>. $<tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))$ </tex> {{---}} противоречие. $\operatorname{Cl}(F_1) = F_1$.
Построим на $F_1$ фунционал $\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t \implies \varphi_0(z) = 0$ {{---}} функционалТаким образом, обнуляющийся на $<tex>\operatorname{Cl}(R(AF_1))$. Он очевидно непрерывен, по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на $F: \widetilde{\varphi} \in F^*$= F_1</tex>.
$Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \widetilde{varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi}varphi_0(z) = 0</tex>. Этот функционал обнуляется на <tex>\mid _operatorname{F_1Cl} = \varphi_0$(R(A))</tex>.
$Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \forall y \in widetilde{\operatorname{Clvarphi}(R(A)): \varphi_0(y) = 0$in F^*</tex>.
C другой стороны $<tex>\varphi_0(y) = 1$ widetilde{{---\varphi}} противоречие, т.к. $y \in (\operatornamemid _{KerF_1}A^*)^= \perp \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))$varphi_0</tex>
</wikitex>
→Теоремы о множестве значений оператора
== Теоремы о множестве значений оператора ==
{{TODO|t=придумать нормальный заголовок}}
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
Проверимсначала замкнутость <tex>F_1</tex>: $z_т+t_{n}y \to u \implies (?) u \in F_1$, т.е. $u = z + ty$.
Если допустить, что $<tex>t_{n_k} \to \infty$</tex>:
<tex>\forall y \in \operatorname{Cl}(R(A)): \widetilde{TODO|t\varphi_0}(y) =Проверьте0</tex>. C другой стороны, я сам не уверен, особенно в доказательстве $<tex> \operatornamewidetilde{Cl\varphi_0}(F_1y) = F_1$ там как1</tex> {{---то не оч}}противоречие, т.к. <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
}}
Рассмотрим <tex>f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>, если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>. Теперь надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A^*</tex>. {{TODO | t = Далее творится какой-то ад с использованием т. Х-Б, кто прошаренный в матане, напишите пожалуйста, особенно про факторизацию}}
}}
