Изменения

<wikitex>Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда $<tex>X$ </tex> имеет базис Шаудера.

Базисом Шаудера в банаховом пространстве $<tex>X$ </tex> называется множество его элементов $<tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots$ </tex> такое, что у любого $<tex>x$ </tex> в $<tex>X$ </tex> существует единственное разложение $<tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i$</tex>.

* в $<tex>L_p(E)$ </tex> и $<tex>C[a, b]$ </tex> тоже есть базис Шаудера

Пусть в $<tex>X$ </tex> есть базис Шаудера, тогда между $<tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k$ </tex> и $<tex>(\alpha_1 \dots \alpha_1 \dots)$ </tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим $<tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}$ </tex> — это линейное пространство. Так как ряд сходится, $<tex>F$ </tex> можно превратить в НП, определив норму как $<tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\|$</tex>. {{TODO|t=проверить, что относительно этой нормы F банахово, есть в Люстернике-Соболеве}}

Определим биективный линейный оператор $<tex>T: F \to X$ </tex> как $<tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n$</tex>.

Покажем, что он ограничен: $<tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|$</tex>, то есть $<tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1$</tex>.

Так как $<tex>F$ </tex> и $<tex>X$ </tex> — банаховы, по [[теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: $<tex>\|T^{-1}\| \le C$</tex>, то есть можно писать, что $<tex>\|\alpha\| \le C \|x\|$</tex>, или $<tex>\sup\limits_n\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|$</tex>. Получили, что $<tex>\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|$</tex>. Запишем оператор $<tex>T$ </tex> как $<tex>S_n + R_n$</tex>, тогда $<tex>R_n = T - S_n$</tex>, $<tex>\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C$</tex>, то есть нормы остаточных операторов ограничены одним и тем же числом. {{TODO|t=я ведь правильно распознал текст конспекта?}}

Итак, если $<tex>X$ </tex> — банахово пространство с базисом (Шаудера?), $<tex>A:X \to X$ </tex> — компактный, $<tex>\forall \varepsilon > 0: A = A_1 + A_2$</tex>, где $<tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty, \|A_n\| < \varepsilon$ </tex> — почти конечномерность компактного оператора. </wikitex>