Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр — различия между версиями
(Новая страница: «= 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. = = 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. = = 3 Ортог...») |
(→1 A^* и его ограниченность.) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
= 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. = | = 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. = | ||
| + | Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>. | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>. | ||
| + | |||
| + | Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>. | ||
| + | |||
| + | <tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. | ||
| + | |||
| + | {{Теорема | ||
| + | |statement= | ||
| + | Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
= 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. = | = 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. = | ||
= 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. = | = 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. = | ||
Версия 22:29, 9 июня 2013
Содержание
- 1 1 [math]A^*[/math] и его ограниченность.
- 2 2 Ортогональные дополнения [math]E[/math] и [math]E^*[/math].
- 3 3 Ортогональное дополнение [math]R(A)[/math].
- 4 4 Ортогональное дополнение [math]R(A^*)[/math].
- 5 5 Арифметика компактных операторов.
- 6 6 О компактности [math]A^*[/math], сепарабельность [math]R(A)[/math].
- 7 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.
- 8 8 Почти конечномерность компактного оператора.
- 9 9 Размерность [math]\operatorname{Ker}(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].
- 10 10 Замкнутость [math]R(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].
- 11 11 Лемма о [math]\operatorname{Ker}(I-A)^n[/math] компактного [math]A[/math].
- 12 12 Условие справедливости равенства [math]R(I-A)=E[/math].
- 13 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера.
- 14 14 Спектр компактного оператора.
- 15 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для [math](a+ib)I-A[/math].
- 16 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора.
- 17 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора.
- 18 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора.
- 19 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел [math]m-[/math] и [math]m+[/math].
- 20 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма.
- 21 21 Теорема Гильберта-Шмидта.
- 22 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.
- 23 23 Локальная сходимость метода простой итерации.
- 24 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений.
- 25 25 Проекторы Шаудера.
- 26 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке.
1 и его ограниченность.
Пусть оператор действует из в , и функционал принадлежит .
Рассмотрим .
Получили новый функционал , принадлежащий . .
. — сопряженный оператор к .
| Теорема: |
Если — линейный ограниченный оператор, то . |
