Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.
Тогда по теореме Банаха об обратном операторе существует линейный ограниченный оператор Покажем, что <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, — ограничен: <tex>\| \widetilde{A}^\| = \sup\limits_{-\|[x]\| = 1} \| \le m widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|yx\| = 1< 2m /tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|yx\|\le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex>одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). ЗамечаниеТогда: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> \sup\limits_{\|[x' ]\in | = 1} \|\widetilde{A^}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{-\|y\| \le 1}\|A(2 y) \| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, что так как <tex> \| x' A\| < 2m/tex> был ограничен, <tex>\| y \| widetilde{A}</tex>тоже окажется ограниченным.
Если Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\xi \in E/_{\operatornamewidetilde{KerA} A^{-1}, \xi = [x]</tex>, то <tex>\|\xiwidetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| = < 2m \inf|y\limits_{|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in \xiA^{-1} (y) </tex>, что <tex> \|x' \| < 2m\| y \|</tex>.
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex>
