Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

1 A^* и его ограниченность

Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math], и функционал [math] \varphi [/math] принадлежит [math] F^* [/math].

Рассмотрим [math] f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| [/math].

Получили новый функционал [math] f [/math], принадлежащий [math] E^* [/math]. [math] \varphi \mapsto \varphi A [/math].

[math] \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* [/math]. [math] A^* [/math] — сопряженный оператор к [math] A [/math].

Теорема:

Если [math] A [/math] — линейный ограниченный оператор, то [math] \| A^* \| = \| A \| [/math].

2 Ортогональные дополнения E и E^*

Определение:

Пусть [math] E [/math] — НП, [math] S \subset E^* [/math]. [math] S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} [/math] — ортогональное дополнение [math] S [/math]. Аналогично, если [math] T \subset E [/math], то [math] T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} [/math].

3 Ортогональное дополнение R(A)

Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math]

[math](R(A))^{\bot} = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} [/math]

Теорема:

[math] A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp [/math].

4 Ортогональное дополнение R(A^*)

Пусть оператор [math] A^* [/math] действует из [math] E^* [/math] в [math] F^* [/math]

[math](R(A^*))^{\bot} = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} [/math]

Теорема:

[math] A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp [/math].

5 Арифметика компактных операторов

Определение:

Множество называется относительно компактным (предкомпактным), если его замыкание компактно

Определение:

Линейный ограниченный оператор [math] A : X \to Y [/math] называется компактным, если [math] A [/math] переводит любое ограниченное подмножество [math] X [/math] в относительно компактное множество из [math] Y [/math].

Утверждение:

[math] A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) [/math], [math] C = B \cdot A [/math] (произведение, суперпозиция). Тогда: Если [math] B [/math] ­— ограниченный, [math] A [/math] ­— компактный, то [math] C [/math] ­— компактный. Если [math] B [/math] ­— компактный, [math] A [/math] ­— ограниченный, то [math] C [/math] ­— компактный.

TODO: Что-то еще нужно добавить?

6 О компактности A^*, сепарабельность R(A)

Утверждение:

Пусть [math] A [/math] ­— компактный, тогда [math] R(A) [/math] — сепарабельно (то есть, в [math] R(A) [/math] существует счетное всюду плотное подмножество).

TODO: А где про компактность [math]A^*[/math]?

7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве

Определение:

Базисом Шаудера в банаховом пространстве [math]X[/math] называется множество его элементов [math]e_1, e_2 \dots e_n \dots[/math] такое, что у любого [math]x[/math] в [math]X[/math] существует единственное разложение [math]x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i[/math].

Определим [math]F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}[/math] — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, [math]F[/math] можно превратить в НП, определив норму как [math]\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|[/math].

Утверждение:

Пространство [math] F [/math] относительно этой нормы — банахово.

8 Почти конечномерность компактного оператора

Теорема (почти конечномерность компактного оператора):

Если [math]X[/math] — банахово пространство с базисом Шаудера, [math]A:X \to X[/math] — компактный, то для всех [math]\varepsilon \gt 0[/math] существует разложение оператора [math]A[/math] в сумму двух компактных операторов: [math]A = A_1 + A_2[/math] такое, что: [math]\operatorname{dim}(R(A_1)) \lt +\infty[/math] [math]\|A_2\| \lt \varepsilon[/math]

9 Размерность Ker(I-A) компактного A

Утверждение:

[math]A[/math] — компактный оператор. Тогда [math]\dim\operatorname{Ker}(I-A) \lt + \infty[/math]

10 Замкнутость R(I-A) компактного A

Теорема:

Пусть [math]T = I - A[/math], [math]A[/math] компактен, тогда [math] R(T) [/math] замкнуто.

11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A

Утверждение:

Пусть [math] M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N[/math], [math] A [/math] — компактный оператор. Тогда [math] \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} [/math].

12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E

Утверждение:

Пусть [math] A [/math] — компактный оператор на банаховом [math] X [/math], [math] T = I - A [/math]. Тогда [math] R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} [/math].

13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера

Теорема (альтернатива Фредгольма-Шаудера):

Пусть [math]A:X \to X[/math] — компактный оператор и [math]T = A - \lambda I[/math]. Тогда возможно только две ситуации: [math]\operatorname{Ker} T = \{0\}[/math], тогда [math] y = Tx[/math] разрешимо для любого [math]y[/math] [math]\operatorname{Ker} T \ne \{0\}[/math], тогда [math] y = Tx[/math] разрешимо только для тех [math]y[/math], которые принадлежат [math](\operatorname{Ker} T^*)^\perp[/math]

14 Спектр компактного оператора

Рассмотрим [math]A - \lambda I[/math].

1. [math]\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}[/math], тогда оператор необратим, и [math]\lambda[/math] — собственное число, то есть [math]\lambda \in \sigma(A)[/math].
2. [math]\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}[/math], тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть [math]\lambda \in \rho(A)[/math].

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

Теорема:

Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.

15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A)

Определение:

Оператор [math]\mathcal{A}[/math] называется самосопряжённым ([math]\mathcal{A} = \mathcal{A}^*[/math]), если [math]\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle[/math]

[math]\lambda \in \mathbb{C}[/math], [math]\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}[/math]

[math]\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|[/math]

16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора

Утверждение:

Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны

17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора

Теорема:

Пусть [math]\mathcal{A}[/math]— самосопряжённый оператор. Тогда [math]\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m \gt 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|[/math]

18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора

Теорема:

Пусть [math]\mathcal{A}[/math]— самосопряжённый оператор. Тогда [math]\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 [/math]

19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+

Определение:

[math]m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle[/math] [math]m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle[/math]

Теорема:

1. [math]\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+][/math] 2. [math]m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})[/math]

20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма

Утверждение:

Если [math]\mathcal{A}[/math]— самосопряжённый оператор, то [math]r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|[/math]

21 Теорема Гильберта-Шмидта

Теорема (Гильберт, Шмидт):

Если [math]\mathcal{A}[/math]— самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве [math]\mathcal{H}[/math], а [math]M_{\lambda_i}[/math]— его (оператора) собственные подпространства, то [math]\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots [/math]

22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.

[math]R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n[/math]

23 Локальная сходимость метода простой итерации

Теорема (Локальная теорема о простой итерации):

Пусть известно, что существует [math] \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} [/math] и [math] \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q \lt 1 [/math]. Тогда существует такой шар [math] V_{\delta} (\overline x) [/math], что если [math] x_0 \in V_{\delta} (\overline x) [/math], то: Метод простых итераций корректно определен: [math] \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0[/math]. [math] x_n \to \overline x [/math]

24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений

[math] \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)[/math]

Утверждение:

[math] \mathcal{F}'(\overline x) = 0 [/math]

25 Проекторы Шаудера

[math] \forall \varepsilon \gt 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M [/math] — конечная [math] \varepsilon [/math]-сеть.

Построим следующую функцию: [math] \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: [/math]

[math] \mu_j(y) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\ \varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| \lt \varepsilon \end{cases} [/math]

[math] S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) [/math]

Определение:

[math] P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j [/math] — проектор Шаудера.

26 Теорема Шаудера о неподвижной точке

Теорема (Шаудер, о неподвижной точке):

Пусть [math] M [/math] — ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства [math] X [/math] и [math] \mathcal{T} [/math] вполне непрерывно отображает [math] M [/math] в себя. Тогда [math] \exists x^* \in M : x^* = Tx^* [/math].