Метрические, нормированные и евклидовы пространства

//статья в разработке\\

Метрическое пространство

Определение

Пусть [math]M[/math] - множество, тогда [math]M[/math] называется метрическим пространством, если на нём определена функция [math]\rho:\: M\times M\longrightarrow R[/math] (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:

[math]1)\:\rho(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y[/math] - аксиома тождества;

[math]2)\:\rho(x,y)=\rho(x,y)[/math] - аксиома симметрии;

[math]3)\:\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq \rho(x,z)[/math] - аксиома(неравенство) треугольника;

Примеры

1) Дискретная:[math] \rho(x,y)=\left\{ \begin{array}{c} 1,\: x\ne y\\ 0,\: x=y \end{array}\right\}[/math]

2) [math]M=R^{n}; \: \rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|[/math] (по всем i)

Нормированное пространство

Определение

Пусть [math]X[/math] - линейное пространство над [math]R(C)[/math], тогда [math]X[/math] называется нормированным пространством, если на нём определена функция [math]\Vert\:\Vert: X\longrightarrow R[/math] (норма), такая, что выполняются три свойства:

[math]1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}[/math] - положительная определённость

[math]2)\Vert \alpha x \Vert = | \alpha|\cdot \Vert x \Vert[/math]

[math]3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert[/math]

Лемма (1):

Любое нормированное пространство является метрическим(обратное не верно!)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, [math]\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Вещественное псевдоевклидово пространство

Определение

Пусть [math]E[/math] - линейное пространство над [math]R[/math]. Пусть на [math]E[/math] задана т.н. метрическая форма [math]G(x,y)[/math], такая, что выполняются три свойства:

[math]1)G(x,y)[/math] - билинейная форма валентности (2;0) [math](x,y \in E)[/math]

[math]2)G(x,y)=G(y,x)[/math] - симметричность

[math]3)[/math] При [math]x=0: G(x,y)=0[/math] при любых [math]y \in E[/math] - невырожденность

Тогда [math]E[/math] называется вещественным псевдоевклидовым пространством