Изменения

Пусть <tex> S_t </tex> это множество <tex> S </tex> после замены работы <tex> k_{i_t} </tex> на <tex> i_t </tex>. Если <tex> k_{i_t} > k </tex>, то в оптимальном расписании <tex> S^* </tex> мы можем заменить работу <tex> k </tex> на <tex> k_{i_t} </tex>, поскольку <tex> d_{k_{i_t}} \geqslant d_k </tex>. Но так как <tex> S_t \subset S^* </tex>, то все работы из множества <tex> S_t \cup \{k_{i_t}\} </tex> могут быть выполнены до их дедлайнов, что противоречит построению <tex> S </tex>. Следовательно, <tex> k_{i_t} < k </tex>. Тогда аналогично предыдущему случаю получаем, что все работы из множества <tex> S_t \cup \{k\} </tex> могут быть выполнены вовремя. Кроме того, все работы из <tex> \{ j \in S_t | j < k \} \cup \{k_{i_t}\} </tex> так же могут быть выполнены вовремя, что следует из построения <tex> S_t </tex>. Но тогда получается, что все работы и из множества <tex> S_t \cup \{k_{i_t}\} </tex> так же могут быть выполнены вовремя, что опять приводит нас к противоречию с построением <tex> S </tex>.