Изменения
Новая страница: «== Основные теоремы и определения == === Определения === {{Определение |definition='''Характеристич...»
== Основные теоремы и определения ==
=== Определения ===
{{Определение
|definition='''Характеристический полином линейного оператора''': <br>
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \to X</tex> - линейный оператор.<br>
Рассмотрим <tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda) = det(\mathcal{A} - \lambda I) = det(A - \lambda E)</tex><br>
<tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> называется характеристическим полиномом линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex>
}}
{{Лемма
|statement = <tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> и все его компоненты — инварианты линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex>
|proof =
<tex>
\mathcal{X}_\mathcal{A}(\lambda) = det||\alpha_k^i - \lambda\delta_k^i|| = \sum\limits_{(j_1,j_2,...,j_n)} (-1)^{[j_1,j_2,...,j_n]}
(\alpha_{j_1}^1 - \lambda\delta_{j_1}^1)(\alpha_{j_2}^2 - \lambda\delta_{j_2}^2)...(\alpha_{j_n}^n - \lambda\delta_{j_n}^n)
= (-1)^n\lambda^n + (-1)^{n-1}\lambda^{n-1}{(\alpha_1^1 + \alpha_2^2 + ... + \alpha_n^n)} + ... + (-1)^0\lambda^0det\mathcal{A}
</tex>
}}
{{Определение
|definition=<tex>L</tex> называется инвариантным подпространством линейного оператора <tex>{\mathcal{A}}: X \to X</tex>, если <tex>\forall x \in L</tex>
(т.е. <tex>{\mathcal{A}}(L) \subset L</tex>)
}}
=== Примеры ===
# Пусть есть <tex>X</tex>, <tex>\{0_x\}</tex> — инвариантное подпространство для <tex>\forall \mathcal{A} : X \to X</tex>
# Пусть <tex dpi = 145>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> — базис <tex>X</tex>; пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A = \begin{pmatrix} {\alpha}_{1} & \cdots & \cdots & \cdots \\
\vdots & {\alpha}_{2} & \cdots & \cdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & {\alpha}_{n} \\
\end{pmatrix}
</tex> <br> Тогда: <tex>L_i =</tex> л.о. <tex>\{e_i\}</tex> - инв. п.п. <tex>\mathcal{A}</tex>; <tex>\mathcal{A}e_i = \lambda_i e_i \in L_i</tex>; <tex>dim L_i = 1</tex>
# <tex>X = L_1 + L_2;\ \mathcal{A} = \mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}: X \to X</tex> <br><br> <tex>A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} L_1, L_2 - </tex>инв. п.п. <tex>L_1 = \{e_1,...,e_k\}, L_2 = \{e_{k+1},...,e_n\}</tex>
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
=== Определения ===
{{Определение
|definition='''Характеристический полином линейного оператора''': <br>
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \to X</tex> - линейный оператор.<br>
Рассмотрим <tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda) = det(\mathcal{A} - \lambda I) = det(A - \lambda E)</tex><br>
<tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> называется характеристическим полиномом линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex>
}}
{{Лемма
|statement = <tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> и все его компоненты — инварианты линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex>
|proof =
<tex>
\mathcal{X}_\mathcal{A}(\lambda) = det||\alpha_k^i - \lambda\delta_k^i|| = \sum\limits_{(j_1,j_2,...,j_n)} (-1)^{[j_1,j_2,...,j_n]}
(\alpha_{j_1}^1 - \lambda\delta_{j_1}^1)(\alpha_{j_2}^2 - \lambda\delta_{j_2}^2)...(\alpha_{j_n}^n - \lambda\delta_{j_n}^n)
= (-1)^n\lambda^n + (-1)^{n-1}\lambda^{n-1}{(\alpha_1^1 + \alpha_2^2 + ... + \alpha_n^n)} + ... + (-1)^0\lambda^0det\mathcal{A}
</tex>
}}
{{Определение
|definition=<tex>L</tex> называется инвариантным подпространством линейного оператора <tex>{\mathcal{A}}: X \to X</tex>, если <tex>\forall x \in L</tex>
(т.е. <tex>{\mathcal{A}}(L) \subset L</tex>)
}}
=== Примеры ===
# Пусть есть <tex>X</tex>, <tex>\{0_x\}</tex> — инвариантное подпространство для <tex>\forall \mathcal{A} : X \to X</tex>
# Пусть <tex dpi = 145>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> — базис <tex>X</tex>; пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A = \begin{pmatrix} {\alpha}_{1} & \cdots & \cdots & \cdots \\
\vdots & {\alpha}_{2} & \cdots & \cdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & {\alpha}_{n} \\
\end{pmatrix}
</tex> <br> Тогда: <tex>L_i =</tex> л.о. <tex>\{e_i\}</tex> - инв. п.п. <tex>\mathcal{A}</tex>; <tex>\mathcal{A}e_i = \lambda_i e_i \in L_i</tex>; <tex>dim L_i = 1</tex>
# <tex>X = L_1 + L_2;\ \mathcal{A} = \mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}: X \to X</tex> <br><br> <tex>A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} L_1, L_2 - </tex>инв. п.п. <tex>L_1 = \{e_1,...,e_k\}, L_2 = \{e_{k+1},...,e_n\}</tex>
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
