Инвариантные подпространства

Основные теоремы и определения

Определения

Определение:

Характеристический полином линейного оператора: Пусть [math]\mathcal{A}: X \to X[/math] — линейный оператор. Рассмотрим [math]{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda) = det(\mathcal{A} - \lambda I) = det(A - \lambda E)[/math] [math]{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)[/math] называется характеристическим полиномом линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math]

Лемма:

[math]{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)[/math] и все его компоненты — инварианты линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \mathcal{X}_\mathcal{A}(\lambda) = det||\alpha_k^i - \lambda\delta_k^i|| = \sum\limits_{(j_1,j_2,...,j_n)} (-1)^{[j_1,j_2,...,j_n]} (\alpha_{j_1}^1 - \lambda\delta_{j_1}^1)(\alpha_{j_2}^2 - \lambda\delta_{j_2}^2)...(\alpha_{j_n}^n - \lambda\delta_{j_n}^n) = (-1)^n\lambda^n + (-1)^{n-1}\lambda^{n-1}{(\alpha_1^1 + \alpha_2^2 + ... + \alpha_n^n)} + ... + (-1)^0\lambda^0det\mathcal{A} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]L[/math] называется инвариантным подпространством линейного оператора [math]{\mathcal{A}}: X \to X[/math], если [math]\forall x \in L: \mathcal{A}x \in L[/math] (т.е. [math]{\mathcal{A}}(L) \subset L[/math])

Примеры

1. Пусть есть [math]X[/math], [math]\{0_x\}[/math] — инвариантное подпространство для [math]\forall \mathcal{A} : X \to X[/math]
   
2. Пусть [math]{\{e_i\}}_{i=1}^n[/math] — базис [math]X[/math]; пусть [math]\mathcal{A} \leftrightarrow A = \begin{pmatrix} {\alpha}_{1} & \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & {\alpha}_{2} & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & {\alpha}_{n} \\ \end{pmatrix} [/math]
   Тогда: [math]L_i =[/math] л.о. [math]\{e_i\}[/math] - инв. п.п. [math]\mathcal{A}[/math]; [math]\mathcal{A}e_i = \lambda_i e_i \in L_i[/math]; [math]\dim L_i = 1[/math]
   
3. [math]X = L_1 + L_2;\ \mathcal{A} = \mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}: X \to X[/math]
   
   [math]A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} L_1, L_2 - [/math]инв. п.п. [math]L_1 = \{e_1,...,e_k\}, L_2 = \{e_{k+1},...,e_n\}[/math]