Ядро и образ линейного оператора

Определение:

Ядром линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется множество [math]~{Ker\mathcal{A}} = \{x\in X \mid \mathcal{A}x = 0 \}[/math].

Определение:

Образом линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется множество [math]~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}[/math] (множество значений).

Теорема (Теорема о ядре и базисе):

[math]\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]Ker\mathcal{A}[/math] — подпространство [math]X[/math]. Пусть [math]\dim Ker\mathcal{A} = k; 0 \leqslant k \leqslant n[/math]. [math]\{e\}_{i = 1}^{k}[/math] — базис [math]Ker\mathcal{A}[/math] [math]\mathcal{8} e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k)[/math] Дополним [math]\{e\}_{i = 1}^{k}[/math] до базиса [math]X[/math]. получим базис [math]\{e\}_{i = 1}^{n}[/math], где [math]n = \dim X[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Источники

• Анин конспект