262
правки
Изменения
→Пересадка формы из E^* в E
|proof= <tex>\left\langle e^k;y\right\rangle = (f^k;y); \forall y \in E</tex> Пусть <tex>y=e_i</tex>, тогда <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=(f^k;e_i)=\delta^k_i</tex>
Рассмотрим <tex>\left\langle e_i;e^k\right\rangle=\overline{\left\langle e^k;e_i\right\rangle}=\overline{\delta^k_i} = \delta^i_k</tex>
}}
{{Определение
|definition= Наборы векторов <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> и <tex>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> называются '''биортогональными базисами'''
}}
NB:<tex>G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle \longleftrightarrow g_{ik}=\left\langle e_i,e_k\right\rangle</tex>
<tex>G = \Vert g_{ik}\Vert; \left\langle x,y\right\rangle = \sum\limits^n_{i,k=1}{\xi^{i}g_{ik}\eta^k}</tex>
{{Теорема
|statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>; <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}</tex>
|proof= <tex>{\{e^i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}</tex>(разложение единственно)
Тогда <tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}</tex> (т.к. <tex>\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j</tex>)
<tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}</tex>, т.е <tex>g_{kj}=\alpha_{kj}</tex>
Переход от <tex>(2) к (1)</tex> производится путём умножения на обратную матрицу:
<tex>G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}</tex> - и приводим к равенству <tex>(1)</tex>
}}
