Алгебра операторных полиномов

[math]P=\{p(\lambda)|\forall \deg p(\lambda)\}[/math]

Пусть [math]A:X-\gt X[/math];Пусть [math]p(\lambda) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\lambda^s -\gt p(A) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s A^2[/math]

[math]P(A) = \{p(A)|\forall \deg p(A)) \}[/math]

[math]P(A)[/math] - п.п. [math]X \times X = {all B:X-\gt X}[/math]

[math]P(A)[/math] - тоже алгебра

0) [math]p(A) \cdot q(A) \in P(A)[/math]

1) [math](p(A) \cdot q(A))r(A) = p(A)\cdot(q(A)*r(A))[/math]

2) [math]p(A)*(q(A)+r(A))=p(A)*q(A)+p(A)*r(A)[/math]

3) [math](\alpha \cdot p(A))\cdot q(A)=p(A)*(\alpha*q(A))=\alpha(p(A)*q(A))[/math]

4) [math]p(A)*q(A) = q(A)*p(A)[/math]

[math]A^m\cdot A^n=A^n*A^m=A^{m+n}[/math]

[math]m,n \in N[/math]

Теорема [math]P(A[/math]) - подалгебра [math]X \times X[/math] (коммунитативные)

[math]S_A:P-\gt P(A)[/math]

[math]p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\cdot\lambda^s -\gt p(A)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s \cdot A^s[/math]

[math](A^0 = I)[/math]

Теорема Пусть [math]p_1(\lambda)[/math] и [math]p_2(\lambda)[/math] - взаимнопростые

Тогда [math]\exists q_1(\lambda) и q_2(\lambda):p_1(A)*q_1(A)+p_2(A)*q2(A)=I[/math]

==proof Было:[math]p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda)=1[/math] [math](*)[/math]

[math]S_A(*): p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda) = S_A 1 = I[/math], ч.т.д.

Теорема Пусть [math]p(\lambda)=p_1(\lambda)*p_2(\lambda)[/math] (Н.О.Д. [math]\{p_1(\lambda), p_2(\lambda)\}=1[/math]) Тогда [math]Ker[/math]