Алгебра операторных полиномов

[math]P=\{p(\lambda)|\forall \deg p(\lambda)\}[/math]

Пусть [math]A:X-\gt X[/math];Пусть [math]p(\lambda) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\lambda^s -\gt p(A) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s A^2[/math]

[math]P(A) = \{p(A)|\forall \deg p(A)) \}[/math]

[math]P(A)[/math] - п.п. [math]X \times X = {all B:X-\gt X}[/math]

[math]P(A)[/math] - тоже алгебра

0) [math]p(A) \cdot q(A) \in P(A)[/math]

1) [math](p(A) \cdot q(A))r(A) = p(A)\cdot(q(A)*r(A))[/math]

2) [math]p(A)*(q(A)+r(A))=p(A)*q(A)+p(A)*r(A)[/math]

3) [math](\alpha \cdot p(A))\cdot q(A)=p(A)*(\alpha*q(A))=\alpha(p(A)*q(A))[/math]

4) [math]p(A)*q(A) = q(A)*p(A)[/math]

[math]A^m\cdot A^n=A^n*A^m=A^{m+n}[/math]

[math]m,n \in N[/math]

Теорема [math]P(A[/math]) - подалгебра [math]X \times X[/math] (коммунитативные)

[math]S_A:P-\gt P(A)[/math]

[math]p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\cdot\lambda^s -\gt p(A)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s \cdot A^s[/math]

[math](A^0 = I)[/math]

Теорема:

Пусть [math]p_1(\lambda)[/math] и [math]p_2(\lambda)[/math] - взаимнопростые Тогда [math]\exists q_1(\lambda) и q_2(\lambda):p_1(A)*q_1(A)+p_2(A)*q2(A)=I[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Было:[math]p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda)=1[/math] [math](*)[/math] [math]S_A(*): p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda) = S_A 1 = I[/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]p(\lambda)=p_1(\lambda)*p_2(\lambda)[/math] (Н.О.Д. [math]\{p_1(\lambda), p_2(\lambda)\}=1[/math]) Тогда [math]Ker p(A)=Ker p_1(A) + Ker p_2(A)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) Пусть [math]x=x_1+x_2[/math], где [math]x_1 \in Ker p_1(A)[/math], [math]x_2 \in Ker p_2(A) =\gt [/math] [math]p(A)x=p(A)x_1+p(A)x_2 = p_1(A) \cdot p_2(A) x + p_1(A)p_2(A) x_2 = [/math](коммутативность)[math] = p_2(A)*p_1(A)x_1+p_1(A)0=0+0=0 =\gt [/math] [math]x \in Ker p(A)[/math] Итого: [math]Ker p_1(A)+Ker p_2(A) inini Ker p(A)[/math] 2) Надо: [math]Ker p(A) inini Ker p_1(A) + Ker p_2(A)[/math] [math]\forall x = x_1 + x_2 (?)[/math] [math]\forall x \in Ker p(A), x_1 \in Ker p_1(A), x_2 \in Ker p_2(A)[/math] Пусть [math]x = Ix = p_2(A)q_2(A)x+p_1(A)q_1(A)x, x \in Ker p(A)[/math] Рассмотрим [math]p_1(A)x_1 = (p_1(A) \cdot p_2(A))q_2(A)x= p(A)\cdot q_2(A)x = q_2(A)\cdot p(A) x[/math] I. Итого: [math]Ker p(A) = Ker p_1(A)+Ker p_2(A)[/math] II. [math]+ -\gt +..[/math] Надо: [math]Ker p_1(A) per Ker p_2(A) = \{0_x\}[/math] [math]\lt - U:z:Ker p_1(A) per Ker p_2(A)[/math] Рассмотрим [math]z=Iz=p_1(A)q_1(A)z+p_2(A)q_2(A)z=q_1(A)p1(A)z+q_2(A)p_2(A)z=0[/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Следствие. Пусть p(\lambda)=\PI_{i=1}^k p_i(\lambda), где p_i(\lambda) - взаимнопростые делители p(\lambda). Тогда [math]Ker p(A)+..\displaystyle \sum_{i=1}^k Ker p_i(A)[/math]

Определение:

Пусть [math]p(\lambda):p(A) = O[/math]. Тогда [math]p(\lambda)[/math] называется аннулирующим полиномом линейного оператора A.

N.B: [math]p(A)=O \lt =\gt \forall x \in X:p(A)x = Ox \lt =\gt p(A)x = \{Ox\} \lt =\gt Im p(A) =\{Ox\} \lt =\gt Ker p(A) =X[/math]

Лемма 1. Рассмотрим [math]X \times X[/math] и [math]\{I,A,A^2,...\}[/math]. [math]dim X=n[/math] [math]dim X \times X = n^2[/math]

Аннулирующие полиномы есть в природе.

[math]\{I,A,A^2,...\}[/math] - набор ЛЗ [math]=\gt [/math] [math]\exists \alpha_s: \displaystyle \sum_{s=0}^{n^2} \alpha_s \cdot A^2 = O[/math]

Рассмотрим [math]p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^{n2} \alpha_s \cdot \lambda^s[/math] - аннулирующий полином.

Теорема.

Множество всех аннулирующих полиномов данного автоморфизма образует идеал А в алгебре скалярных полиномов P.

I_A

Рассмотрим p(\lambda) \in I_A, p(\lambda) \in P => p(\lambda)q(\lambda) \in (I_A) (?)

[math]S_A(p(\lambda)q(\lambda)) = p(A)q(A) = O \cdot q(A) = O[/math], ч.т.д.

Определение:

Минимальный полином построенного идеала J_A называется минимальным полиномом A(минимальным аннулирующим полиномом A)

Пример.

Пусть [math]A[/math]-л.о. с простым спектром.

[math]X_a(\lambda) = \prod_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i)[/math]

[math]A=\displaystyle \lambda_i P_{\lambda_i}[/math]