497
правок
Изменения
→Равенство Парсеваля
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> {{- --}} ОРТН-система векторов.
Тогда числа <tex>\varphi_i = \left\langle x, e_i\right\rangle</tex> называются коэффициентами Фурье вектора <tex>x</tex> относительно системы <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex>
}}
NB: <tex>\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum\limits_{i=1}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)</tex>
==Неравенство Бесселя==
{{Лемма
{{Теорема
|statement=
Для того, чтобы ОРТН-система векторов <tex>{\{e_i\}}^k_n_{i=1}</tex> могла бы быть полной в евклидовом пространстве <tex>E</tex>, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля: <tex>\Vert x\Vert^2 =\sum\limits_{i=1}^{kn} {|\varphi_i|}^2</tex>, где <tex>n=\dim E</tex>
|proof=
Достаточность: пусть <tex>n\ne\dim E</tex>, тогда т.к. <tex>{\{e_i\}}^k_n_{i=1}</tex> {{--- }} ОРТН-система, то набор <tex>{\{e_i\}}^k_n_{i=1}</tex> {{--- }} ЛНЗ(по определению ортонормированности), а значит он может быть полным, только если <tex>n=\dim L</tex>
Необходимость: полностью следует из равенства Парсеваля.
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
