Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор. Задача о перпендикуляре

Ортогональная сумма подпространств

Определение:

Пусть [math]L - [/math] подпространство унитарного линейного пространства [math]E[/math], тогда говорят, что [math]x \bot L [/math], если [math]x \bot \forall y \in L [/math]

Определение:

Подпространство [math]M=\{[/math] все [math]x \in E: \ x \bot L \}[/math] называется ортогональным дополнением к [math]L[/math] в [math]E[/math], обозначается [math]M=L^ \bot [/math]

Теорема:

[math]E=L \dotplus M[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Шаг 1. Рассмотрим [math]\{e_1, e_2...e_k\}[/math] — ОРТН базис [math]L \ (k=dimL)[/math]. Шаг 2. Дополним [math]\{e_i\}_{i=1}^{k}[/math] до базиса [math]E[/math], получим [math]\{e_1, e_2...e_k, x_{k+1}...x_n\} \ (n=dimE)[/math]. Шаг 3. Приведем этот набор к ОРТН базису (процесс Грама-Шмидта), в итоге получим [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] — ОРТН базис, при этом [math]\{e_i\}_{i=k+1}^{n} \in M[/math] (по определению и построению) [math]M=[/math] ло [math]\{e_{k+1}...e_n\}[/math], то есть [math]E=L+M[/math] Шаг 4. Докажем, что сумма должна быть прямой. [math]\forall x=\sum\limits_{i=1}^{n}\xi^ie_i=\sum\limits_{i=1}^{k}\xi^ie_i+\sum\limits_{i=k+1}^{n}\xi^ie_i=f+g[/math], где [math]f \in L, g \in M[/math] [math]f,g[/math] — единственные. Докажем этот факт от противного. Пусть [math]x=f+g=f_1+g_1 \Rightarrow f-f_1=g_1-g (*)[/math]. [math]\left\langle (*),f-f_1 \right\rangle: \Vert f-f_1 \Vert^2=\left\langle g_1-g,f-f_1\right\rangle=0[/math] (так как [math](g_1-g) \in L, (f-f_1) \in M, L \bot M[/math]) [math]\Rightarrow f-f_1=0 \Rightarrow f=f_1 \Rightarrow g=g_1[/math], то есть разложение единственное, теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Прямая сумма взаимно перпендикулярных пп называется ортогональной суммой, обозначается как [math]\oplus[/math].

NB: [math]E=L \oplus M[/math]

Определение:

Прямая сумма попарно перпендикулярных пп называется их ортогональной суммой.

[math] \dotplus \sum\limits_{i=1}^{k} L_i= \oplus \sum\limits_{i=1}^{k}L_i (L_i \bot L_j, i \ne j)[/math]

Ортогональный проектор

Определение:

Пусть [math]E=L \dotplus M[/math] [math]\mathcal{P}_{L}^{\Vert M}[/math] называется ортогональным проектором на пп [math]L[/math] и обозначается [math]\mathcal{P}_{L}^{\bot}x[/math]. [math]\mathcal{P}_{M}^{\Vert L}[/math] называется ортогональным проектором на пп [math]M[/math] и обозначается [math]\mathcal{P}_{M}^{\bot}x[/math].

Определение:

[math]x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x[/math] называется разложением вектора [math]x[/math] в сумму ортогональной проекции на пп [math]L[/math] и ортогональной составляющей на пп [math]M[/math].

Лемма:

Пусть [math]\{e_i\}_{i=1}^{k}[/math] — ОРТН базис [math]L \ (dimL=k)[/math] тогда [math]\mathcal{P}_{L}^{\bot}x= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i. [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Без ограничения общности рассмотрим [math]\{e_1..e_k, e_{k+1}..e_n\}[/math] — ОРТН базис [math]E[/math], где [math]\{e_i\}_{i=1}^{k}[/math] — ОРТН базис [math]L[/math], a [math]\{e_i\}_{i=k+1}^{n}[/math] — ОРТН базис [math]M[/math] (на остальные вектора распространим по линейности) Шаг 1. Рассмотрим [math]e_j \ (j=1..k): \mathcal{P}_{L}^{\bot}e_j= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle e_j,e_i\right\rangle e_i=\left\langle e_j,e_j\right\rangle e_j=e_j \Rightarrow \forall x \in L: \mathcal{P}_{L}^{\bot}x=x[/math] Шаг 2. Рассмотрим [math]e_s \ (s=k+1..n): \mathcal{P}_{L}^{\bot}e_s= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle e_s,e_i\right\rangle e_i=0 \Rightarrow \forall y \in M: \mathcal{P}_{L}^{\bot}y=0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math] \Vert \mathcal{P}_{L}^{\bot} x \Vert \leqslant \Vert x \Vert, \ \Vert \mathcal{P}_{M}^{\bot} x \Vert \leqslant \Vert x \Vert. [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

по теореме Пифагора [math] \Vert x \Vert^2 = \Vert \mathcal{P}_{L}^{\bot} x\Vert^2 + \Vert \mathcal{P}_{M}^{\bot} x \Vert^2. [/math] Отсюда напрямую следует утверждение леммы.

[math]\triangleleft[/math]

Задача о перпендикуляре

Определение:

Задачей о перпендикуляре называется задача отыскания ортогональной составляющей и проекции вектора [math]x[/math], то есть его разложения по формуле: [math]x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x[/math] (где [math]\mathcal{P}_{L}^{\bot}x[/math] — ортогональный проектор на пп [math]L[/math], [math]L[/math] — пп унитарного пространства [math]E[/math], a [math]\mathcal{P}_{M}^{\bot}x[/math] — ортогональный проектор на пп [math]M[/math], [math]M[/math] — ортогональное дополнение [math]E[/math]).

Способ 1(через ОРТН базис)

Утверждение:

1) Найти [math]\{e_i\}_{i=1}^{k}[/math] — ОРТН базис [math]L[/math] 2) [math] \mathcal{P}_{L}^{\bot}x = \sum\limits_{i=1}^{k} \left\langle x,e_i \right\rangle e_i; \ \mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. [/math]

Способ 2 (через систему уравнений)

Утверждение:

Рассмотрим [math]\{a_1, a_2...a_k\}[/math] — базис [math]L[/math] (не ОРТН) [math]x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x=\gamma^1a_1 + \gamma^2a_2+...+\gamma^ka_k+\mathcal{P}_{M}^{\bot}x \ (*)[/math] [math] \begin{cases} \left\langle a_1,(*) \right\rangle: \left\langle a_1,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_1,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_1,a_k \right\rangle \\ \left\langle a_2,(*) \right\rangle: \left\langle a_2,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_2,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_2,a_k \right\rangle \\ \cdot \\ \cdot \\ \left\langle a_k,(*) \right\rangle: \left\langle a_k,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_k,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_k,a_k \right\rangle \end{cases} [/math] Решая эту систему уравнений для неизвестных [math]\overline{\gamma_i}[/math], находим коэффициенты разложения [math]\mathcal{P}_{L}^{\bot}x[/math]. [math]\mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. [/math]

Матрица Грама

Определение:

Пусть [math]\{e_1..e_k\}[/math] — результат ортогонализации по Граму-Шмидту набора [math]\{a_1..a_k\}[/math], тогда [math]G(a_1..a_k)=\Vert e_1 \Vert^2 \cdot \Vert e_2 \Vert^2 \cdot...\cdot \Vert e_k \Vert^2[/math] называется определителем Грама соответствующего набора векторов [math]\{a_i\}_{i=1}^{k}[/math].

[math]G(a_1..a_k)= det\begin{pmatrix} {\left\langle a_1,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_1,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_1,a_k \right\rangle} \\ {\left\langle a_2,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_2,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_2,a_k \right\rangle} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\left\langle a_k,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_k,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_k,a_k \right\rangle} \\ \end{pmatrix}[/math]

Утверждение:

[math]0 \leqslant G(a_1..a_k) \leqslant \Vert a_1 \Vert^2 \cdot \Vert a_2 \Vert^2 \cdot...\cdot \Vert a_k \Vert^2[/math]

Утверждение:

[math]G(a_1..a_k)=0 \Leftrightarrow \{a_1,a_2...a_k\}[/math] — ЛЗ.