418
правок
Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>A</tex>-л.о. с простым спектром.
<tex>X_a(\lambda) = \prod_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i)</tex>
<tex>A=\displaystyle \lambda_i P_{\lambda_i}</tex>
<tex>A = \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot P_{\lambda_i}</tex>
<tex>X_A(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n X_A(\lambda_i)\cdot P_{\lambda_i} = O</tex>, т.е. <tex>X_A \in J_A</tex>
<tex>X_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_j)\cdot \widehat{X_A}(\lambda)</tex>
<tex>\widehat{X_A}(\lambda) = \prod_{i=1, j!=i}^n (\lambda-\lambda_i)</tex>
Рассмотрим <tex>x_j \in L_{\lambda_j} => \widehat{X_A}(A)x_j != O </tex>
<tex>X_A(A)=O</tex> - тождество Кэли
<tex>X_A(A)</tex> - аннулирующий, но не минимальный полином.
{{Теорема
|statement = Для <tex>p(A)=q(A)</tex>, Н и Д, чтобы <tex>(p(\lambda)-q(\lambda))::p_A(\lambda)</tex>
|proof=
<tex>p(A)=q(A) <=> p(A)-q(A) = O <=> (p(A)-q(A))x=Ox </tex>(для <tex>\forall x \in X</tex>)
<tex>p(\lambda)-q(\lambda) = p_A(\lambda)\cdot \widehat{p}(A)=O</tex>
}}
Следствие
Пусть <tex>r(\lambda)</tex> - остаток от деления <tex>p(\lambda)</tex> на <tex>p_A(\lambda)</tex>
Тогда <tex>p(A)=r(A)</tex>
<tex>p(\lambda)=p_A(\lambda)\cdot q(\lambda)+r(\lambda)</tex>
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^k p_a(\lambda)</tex> (<tex>p_i(\lambda)</tex> - взаимнопростые делители)
Тогда <tex>X = ..\sum_{i=1}^n Ker p_i(A)</tex>
<tex>Ker p_A(A) = X</tex>
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
