137
правок
Изменения
Новая страница: «{{Определение |id=1 |definition= '''Унитарным оператором''' называется оператор, сохраняющий скаля...»
{{Определение
|id=1
|definition=
'''Унитарным оператором''' называется оператор, сохраняющий скалярное произведение, то есть <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)</tex>
}}
{{Определение
|id=2
|definition=
'''Унитарным оператором''' называется оператор, сохраняющий норму вектора, то есть <tex>\Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert \ (\forall x \in E)</tex>
}}
{{Определение
|id=2
|definition=
'''Унитарным оператором''' называется оператор такой, что <tex>\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+} \ (\mathcal{U}^{+}</tex> {{---}} эрмитовски сопряженный оператор<tex>)</tex>, то есть <tex>\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Все три определения эквивалентны
|proof=
'''Шаг 1. опр1 <tex>\Rightarrow</tex> опр2'''
Пусть в первом определении <tex>x=y: \left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle x;x \right \rangle \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert^2=\Vert x\Vert^2 \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert</tex>
'''Шаг 2. опр2 <tex>\Rightarrow</tex> опр1'''
'''Шаг 3. опр1 <tex>\Rightarrow</tex> опр3'''
'''Шаг 4. опр3 <tex>\Rightarrow</tex> опр1'''
}}
|id=1
|definition=
'''Унитарным оператором''' называется оператор, сохраняющий скалярное произведение, то есть <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)</tex>
}}
{{Определение
|id=2
|definition=
'''Унитарным оператором''' называется оператор, сохраняющий норму вектора, то есть <tex>\Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert \ (\forall x \in E)</tex>
}}
{{Определение
|id=2
|definition=
'''Унитарным оператором''' называется оператор такой, что <tex>\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+} \ (\mathcal{U}^{+}</tex> {{---}} эрмитовски сопряженный оператор<tex>)</tex>, то есть <tex>\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Все три определения эквивалентны
|proof=
'''Шаг 1. опр1 <tex>\Rightarrow</tex> опр2'''
Пусть в первом определении <tex>x=y: \left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle x;x \right \rangle \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert^2=\Vert x\Vert^2 \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert</tex>
'''Шаг 2. опр2 <tex>\Rightarrow</tex> опр1'''
'''Шаг 3. опр1 <tex>\Rightarrow</tex> опр3'''
'''Шаг 4. опр3 <tex>\Rightarrow</tex> опр1'''
}}
