Ковариантность и контравариантность

Теорема:

[math]e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)[/math]; [math]e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)[/math], где [math]\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]{\{e^i\}}_{i=1}^n[/math] - базис [math]E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}[/math](разложение единственно) Тогда [math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}[/math] (т.к. [math]\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j[/math]) [math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}[/math], т.е [math]g_{kj}=\alpha_{kj}[/math] Переход от [math](2)[/math] к [math](1)[/math] производится путём умножения на обратную матрицу: [math]G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}[/math] - и приходим к равенству [math](1)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Ковариантные и Контрвариантные векторы в E

пусть [math]x =! \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i[/math] и [math]x =! \sum\limits_{k=1}^n \xi_k e^k[/math]

Лемма (1):

[math]\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k[/math] (3) [math]\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k[/math] (4) здесь [math]g_{ki}[/math] и [math]g^{ik}[/math] - метрический тензор

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k[/math] [math]\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k =^{(1)} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k (\sum\limits_{i=1}^n g^{ki} e_i) = \sum\limits_{i=1}^n ( \sum\limits_{k=1}^n \xi_k g^{ki}) e_i[/math]

[math]\triangleleft[/math]