Алгебра

Умножение линейных операторов

Определение:

Пусть $\mathcal{A} \colon X \to Y$ и $\mathcal{B} \colon Y \to Z$, причём $\dim X = n$, $\dim Y = m$ и $\dim Z = p$. Тогда отображение $\mathcal{C} \colon X \to Z$ называется называется произведением линейных операторов $\mathcal{B}$ и $\mathcal{A} \ (\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A})$, если $\forall x \in X \colon \ \mathcal{C}(x) = \mathcal{B}(\mathcal{A}x)$

Лемма:

Если $\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}$, то $\mathcal{C}$ - линейный оператор, т.е. $\mathcal{C} \in X \times Z$

Доказательство:

$\triangleright$

УПРАЖНЕНИЕ

$\triangleleft$

Теорема:

Пусть $\{e_i\}_{i=1}^n$ - базис $X$, $\{h_k\}_{k=1}^m$ - базис $Y$, $\{l_s\}_{s=1}^p$ - базис $Z$ и пусть $A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||$ - матрица $\mathcal{A}$, $B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||$ - матрица $\mathcal{B}$, $C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||$ - матрица $\mathcal{C}$, где $\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}$. Тогда $C = B \cdot A$.

Доказательство:

$\triangleright$

1. $\mathcal{C}e_i = \sum\limits_{k=1}^{p} \gamma_{i}^{k} l_k$, т.е. $\gamma_{i}^{k} = (C_{e_i})^k$ по определению матрицы $C$. 2. $\mathcal{C}e_i = \mathcal{B} (\mathcal{A} e_i) = \mathcal{B} (\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} h_j) \overset{\mathcal{B} - lin.op}{=} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} \mathcal{B}(h_j) = \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} (\sum\limits_{k=1}^{p} \beta_{j}^{k} l_k) =$$\sum\limits_{k=1}^{p} (l_k \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j})$, тогда из 1 и 2: $\gamma_i^k = \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j} \overset{def}{\Leftrightarrow} C_{[p \times n]} = B_{[p \times m]} \times A_{[m \times n]}$, для $i = 1..n$ и $k = 1..p$

$\triangleleft$

Алгебра. Изоморфизм алгебр.

Определение:

Линейное пространство $X$ над $F$ называется алгеброй, если в нём задана вторая бинарная операция $+$, и при этом $\forall x,y,z \in X$ и $\forall \alpha \in F \colon$ 1) $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ 2) $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$ 3) $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$ 4) $\alpha(x \cdot y) = (\alpha x)y = x(\alpha y)$

N.B.:

Если $\forall x,y \in X \colon x \cdot y = y \cdot x$, то $X$ называется коммутативной (абелевой) алгеброй.

Теорема:

Пусть $X = F_n^n = \{ A_{[n \times n]} = ||\alpha_k^i||, \ \alpha_k^i \in F \}$, тогда $X$ - алгебра над $F$.

Теорема:

$X \times X$ - алгебра над $F$, где $X \times X = \{ \mathcal{A} \colon X \Rightarrow X \}$.