234
правки
Изменения
→Транспонирование тензора
== Тензоры: независимое от ПЛФ определение; свертка тензора; транспонирование тензора. ==
Пусть <texdpi = "160"> W \in \boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. <texdpi = "160">\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(e_{i1}, e_{i2}, ..., e_{ip}, f^{j1}, ..., f^{jq}) </tex>.
(1) {<texdpi = "160">e_i</tex>} <texdpi = "160">\longrightarrow </tex> \{<tex>\tilde{e}_i\} </tex>} под действием матрицы <texdpi = "160">T</tex>.
(2) {<texdpi = "160">f_j</tex>} <texdpi = "160">\longrightarrow </tex> {<tex>\tilde{f}_j</tex>} под действием матрицы <texdpi = "160">T^{-1}</tex>.
<texdpi = "160">\tilde{\omega}_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(\tilde{e}_{i1}, \tilde{e}_{i2}, ..., \tilde{e}_{ip}, \tilde{f}_{j1}, ..., \tilde{f}_{jq}) </tex> = <texdpi = "160"> W(\tau_{i1}^{s1}e_{s1}, \tau_{i2}^{s2}e_{s2}, ..., \tau_{ip}^{sp}e_{sp}, \sigma_{t1}^{j1}f^{j1}, \sigma_{t2}^{j2}f^{j2}, ..., \sigma_{tq}^{jq}f^{jq})</tex> = <texdpi = "160">\tau_{i1}^{s1}\tau_{i2}^{s2}...\tau_{ip}^{sp}\sigma_{t1}^{j1}, \sigma_{t2}^{j2}, ..., \sigma_{tq}^{jq}*W(e_{s1}, e_{s2}, ..., e_{sp}, f^{t1}, f^{t2}, ..., f^{tq}). (*)</tex>
C учетом того, что <texdpi = "160">(f^{j}, e_{i})</tex> = <texdpi = "160"> \delta_{i}^{j} </tex>. И аналогично с <texdpi = "160">e, f</tex> взволнованными.
{{Определение
|id=
|neat = 1
|definition=Пусть <tex>\{e\}_{i = 1}^n</tex> {{---}} базис Х. <tex>\{f\}_{j = 1}^n</tex> {{---}} базис <tex>X^{*}</tex>. Им соответствует <tex>n^{p + q}</tex> чисел <texdpi = "160">\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Эти <tex>n^{p + q}</tex> чисел + закон преобразования <tex>(*)</tex> называются тензором. <tex>q</tex> раз контрвариантный, p раз ковариантный.
}}
<tex>\boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex> {{---}} линейное пространство всех форм валентности (p, q).
<texdpi = "160"> W \longleftrightarrow \omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} </tex>. Ранг (q, p).
===Свертка тензора===
|id=
|neat = 1
|definition=Пусть <texdpi = "160">U \in \boldsymbol{\Omega}_{q}^p </tex>. Сверткой формы <texdpi = "160">U</tex> по аргументам <texdpi = "160">x_i</tex>, <texdpi = "160">y^j</tex> называется <texdpi = "160"> \displaystyle \sum_{s=1}^n U(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, e_s, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, f^s, y^{j + 1}, y^q)</tex> = <texdpi = "160">W(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, y^{j + 1}, y^q) </tex>.
}}
Всего количество двумерных слоев {{---}} <tex>n^{p - 2}*C_{p}^{2} </tex>
<tex dpi = "160"> ||\alpha_{i1, i2, ..., ipijk}|| = \begin{array}{||c c|c c||} \alpha_{111} & \alpha_{121} & \alpha_{112} & \alpha_{122}\\\alpha_{211} & \alpha_{221} & \alpha_{212} & \alpha_{222}\\\end{array} </tex> {{---}} p-мерная матрциа.
{{Определение
